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7.6.10 Estimadores de máxima verosimilitud

Sea X una v.a. con función de probabilidad


\begin{displaymath}f(x;\,\theta)
\end{displaymath}

Las muestras aleatorias simples de tamaño n, $X_1,X_2,\dots,X_n$ tienen por distribución de probabilidad conjunta


\begin{displaymath}f_c(x_1,x_2,\dots,x_n;\,\theta)=f(x_1,x_2,\dots,x_n;\,\theta)
f(x_1;\,\theta)\cdot
f(x_2;\,\theta)\cdots
f(x_n;\,\theta)
\end{displaymath}

Esta función que depende de n+1 cantidades podemos considerarla de dos maneras:

En este punto podemos plantearnos el que dado una muestra sobre la que se ha observado los valores xi, una posible estimación del parámetro es aquella que maximiza la función de verosimilitud (cf. figura 7.1)


\begin{displaymath}x_1,\dots,x_n \mbox{ fijados } \Longrightarrow
\mbox{ Verosimilitud }\equiv\: V(\theta) =
f(x_1,x_2,\dots,x_n;\,\theta)
\end{displaymath}


  
Figura: La función de verosimilitud se obtiene a partir de la función de densidad, intercambiando los papeles entre parámetro y estimador. En una función de verosimilitud consideramos que las observaciones x1, ..., xn,están fijadas, y se representa la gráfica con el valor de los valores que tomaría la función de densidad para todos los posibles valores del parámetro $\theta $. El estimador máximo verosímil del parámetro buscado, $\hat{\theta}_{\cal MV}$, es aquel que maximiza su función de verosimilitud, $V(\theta )$.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{f7-1.epsi}

Como es lo mismo maximizar una función que su logaritmo (al ser este una función estrictamente creciente), este máximo puede calcularse derivando con respecto a $\theta $la función de verosimilitud ( bien su logaritmo) y tomando como estimador máximo verosímil al que haga la derivada nula:

\begin{displaymath}\frac{\partial \,\log V}{\partial\,\theta}
\left(\hat{\theta}_{\cal M V}\right) = 0.
\end{displaymath}

De modo más preciso, se define el estimador máximo verosímil como la v.a.

\begin{displaymath}\hat{\theta}_{\cal M V} = \max_{\tilde{\theta} \in I\!\!R}
f(X_1,X_2,\dots,X_n;\,\tilde{\theta})
\end{displaymath}

Los estimadores de máxima verosimilitud tienen ciertas propiedades en general que a continuación enunciamos:

1.
Son consistentes;
2.
Son invariantes frente a transformaciones biunívocas, es decir, si $\hat{\theta}_{\cal MV}$ es el estimador máximo verosímil de $\theta $ y $g(\tilde{\theta})$ es una función biunívoca de $\tilde{\theta}$, entonces $g(\hat{\theta}_{\cal M V})$es el estimador máximo verosímil de $g(\theta)$.
3.
Si $\hat{\theta}$ es un estimador suficiente de $\theta $, su estimador máximo verosímil, $\hat{\theta}_{\cal MV}$ es función de la muestra a través de $\hat{\theta}$;
4.
Son asintóticamente normales;
5.
Son asintóticamente eficientes, es decir, entre todos los estimadores consistentes de un parámetro $\theta $, los de máxima verosimilitud son los de varianza mínima.
6.
No siempre son insesgados.


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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo