7.6.8 Suficiencia

Diremos que $\hat{\theta}\equiv\hat{\theta}(X_1,\dots,X_n)$es un estimador suficiente del parámetro $\hat{\theta}$ si

$${{\cal P}}[{X_1=x_1,X_2=x_2,\dots,X_n=x_n}_{\mid \hat{\theta}=a}] \qquad \mbox{no depende de } \theta$$

para todo posible valor de $\theta$.

Esta definición así enunciada tal vez resulte un poco oscura, pero lo que expresa es que un estimador es suficiente, si agota toda la información existente en la muestra que sirva para estimar el parámetro.

7.6.8.1 Teorema

[Criterio de factorización de Fisher--Neyman] Sea $f(x_1,x_2,\dots,x_n;\,\theta)$ la distribución conjunta para las muestras de tamaño n, $X_1,\dots,X_n$. Entonces

$$\begin{eqnarray*}& \hat{\theta}(X_1,\dots,X_n) \mbox{ es estimador suficiente}& ... ...s,x_n)\cdot r\left( \hat{\theta}(X_1,\dots,X_n) ;\theta \right)& \end{eqnarray*}$$

siendo h una función no negativa que no depende de $\theta$y r una función que sólo depende del parámetro y de la muestra a través del estimador.