7.6.4 Consistencia

Decimos que $\hat{\theta}$ es un estimador consistente con el parámetro $\theta$ si:

$$\forall\,\epsilon > 0, \qquad \lim_{n\rightarrow \infty} {{\cal P}}[\mid \hat{\theta} - \theta \mid >\epsilon ] = 0,$$

o lo que es equivalente

$$\forall\,\epsilon > 0, \qquad \lim_{n\rightarrow \infty} {{\cal P}}[\mid \hat{\theta} - \theta \mid <\epsilon ] = 1.$$

Este tipo de propiedades definidas cuando el número de observaciones n, tiende a infinito, es lo que se denomina propiedades asintóticas.

7.6.4.1 Teorema

Como consecuencia de de la desigualdad de Thebycheff (página ) se puede demostrar el siguiente resultado:

Si se verifican las condiciones

$$\lim_{n\rightarrow \infty} { {{\bf E} \left[ \hat{\theta} \right]} } = \theta$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty} { {{\bf Var } \left[ \hat{\theta} \right]} } = 0$$

entonces $\hat{\theta}$ es consistente.