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6.8.10 Distribución ${ {{\bf t} } }$ de Student

La distribución ${ {{\bf t} } }$-Student se construye como un cociente entre una normal y la raíz de una $\chi ^2$ independientes. De modo preciso, llamamos distribución t-Student con n grados de libertad, ${ {{\bf t} } }_{n}$ a la de una v.a. T,

 \begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
T=\frac{Z}{\sqrt{ \frac{1}{n}\chi_n^2}} {\leadsto}{ {{\bf t} } }_n
$ } }
}
\end{displaymath}

donde $Z{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$, $\chi_n^2{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_n^2$. Este tipo de distribuciones aparece cuando tenemos n+1 v.a. independientes


\begin{displaymath}X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} }
\end{displaymath}


\begin{displaymath}X_i{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu_i,\sigma_i^2 \right)} }\qquad i=1,\dots,n
\end{displaymath}

y nos interesa la distribución de


\begin{displaymath}T=\frac{ \displaystyle \frac{X-\mu}{\sigma}}{
\sqrt{\displays...
...c{X_i-\mu_i}{\sigma_i}
\right)^2
}}
{\leadsto}{ {{\bf t} } }_n
\end{displaymath}

La función de densidad de $t_n{\leadsto}{ {{\bf t} } }_n$ es


\begin{displaymath}f_T(x)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(
\...
...ac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}
\qquad \forall\,t\in I\!\!R
\end{displaymath}


  
Figura: Función de densidad de una ${ {{\bf t} } }$ de Student
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-16.epsi}

La distribución ${ {{\bf t} } }$ de Student tiene propiedades parecidas a ${ {{\bf N} \left ( 0,1 \right )} }$:


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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo