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Subsecciones

6.8.4 Distribución exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de $I\!\!R^+$, es tal que su función de densidad es

\begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
f(x) =
\lambda e^{-\lambda x} \mbox{si } 0<x
$ } }
}
\end{displaymath}

se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda \right)} }$.


  
Figura: Función de densidad, f, de una ${ {{\bf Exp} \left ( \lambda \right )} }$.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-04.epsi}

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,


\begin{displaymath}\int_0^x \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \left. -e^{-\lambda t}
\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}
\end{displaymath}

luego la función de distribución es:


\begin{displaymath}F(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 - e^{-\lambda x} & \mbox{si } 0<x
\\
\\
0 & \mbox{ en otro caso.}
\end{array}\right.
\end{displaymath}


  
Figura: Función de distribución, F, de ${ {{\bf Exp} \left ( \lambda \right )} }$, calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-05.epsi}

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica


\begin{displaymath}\phi_X(t) = \int_0^{+\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda x}\,...
...-\lambda)x}
\right]_0^{+\infty} = - \frac{\lambda}{it-\lambda}
\end{displaymath}

para después, derivando por primera vez

\begin{eqnarray}\html{eqn61}\nonumber
\phi_X^,(t) &=& \frac{\lambda i}{(it-\lamb...
...ight]} } &=& \frac{\phi_X^,(0)}{i} = \frac{1}{\lambda}
\nonumber
\end{eqnarray}


y derivando por segunda vez,

\begin{eqnarray}\html{eqn61}\nonumber
\phi_X^{,,}(t) &=& \frac{-2 \lambda i^2}{(...
...} = \frac{-2 \lambda}{-\lambda^3}
=\frac{2}{\lambda^2}
\nonumber
\end{eqnarray}


Entonces la varianza vale


\begin{displaymath}{ {{\bf Var } \left[ X \right]} }={ {{\bf E} \left[ X^2 \righ...
...a^2}
- \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 =\frac{1}{\lambda^2}
\end{displaymath}

6.8.4.1 Ejemplo

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de $\,_{84}^{210}\!Po$. Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya desaparecido el $90\%$ de este material?

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de $\,_{84}^{210}\!Po$es una v.a. de distribución exponencial:

\begin{eqnarray}\html{eqn61}T{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda=\frac{1}{140}...
...
&\Longleftrightarrow&\qquad F(t)=1 - e^{-\lambda \,t}
\nonumber
\end{eqnarray}


Como el número de átomos de $\,_{84}^{210}\!Po$ existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el $90\%$ del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir


\begin{displaymath}F(t_{90}) = 0,9 \;\;\Leftrightarrow\;\;e^{-\lambda\,t_{90}}= ...
...t_{90}=- \frac{1}{\lambda}\, \ln 0,1 \approx 322
\mbox{ días}
\end{displaymath}


  
Figura: Como el número de átomos (observaciones) es extremadamente alto en 10 gramos de materia, el histograma puede ser aproximado de modo excelente por la función de densidad exponencial, y el polígono de frecuencias acumuladas por la función de distribución.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-06.epsi}

6.8.4.2 Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de $25\%$ años?

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que

\begin{eqnarray}\html{eqn61}T{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda=\frac{1}{16} ...
...
&\Longleftrightarrow&\qquad F(t)=1 - e^{-\lambda \,t}
\nonumber
\end{eqnarray}


Entonces


\begin{displaymath}{{\cal P}}[T\leq 20] = \int_0^{20}\, f(t)\,dt = F(20) = 1-e^{-\frac{20}{16}}=
0,7135
\end{displaymath}

En segundo lugar

\begin{eqnarray}\html{eqn61}{{\cal P}}[T\leq 25_{\mid T\geq 5}] &=& \displaystyl...
...tminus}-1{\!\!\!\setminus}
+e^{-\frac{5}{16}} = 0,7316
\nonumber
\end{eqnarray}


Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,


\begin{displaymath}{{\cal P}}[T\leq 25_{\mid T\geq 5}] = {{\cal P}}[T\leq 20]
\end{displaymath}

o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene memoria".


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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo