6.8.2 Distribución uniforme o rectangular

Se dice que una v.a. X posee una distribución uniforme en el intervalo [a,b],

$$X{\leadsto}{ {{\bf U} \left( a,b \right)} }$$

si su función de densidad es la siguiente:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \mbox{ si } a\leq x\leq b $ } } }$$

Con esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al hacer un experimento aleatorio, el valor de X este comprendido en cierto subintervalo de [a,b] depende únicamente de la longitud del mismo, no de su posición. Cometiendo un pequeño abuso en el lenguaje, podemos decir que en una distribución uniforme la probabilidad de todos los puntos del soporte es la misma ^6.2.

Teniendo en cuenta que si $x\in [a,b]$,

$$\int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} dt = \frac{1}{b-a} \, \left. \beg... ...ray}{c} \, \\ t \\ \, \end{array} \right]_a^x =\frac{x-a}{b-a}$$

la función de distribución de $X{\leadsto}{ {{\bf U} \left( a,b \right)} }$ es:

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ si } x<a \\ \\ ... ...q x \leq b \\ \\ 1 & \mbox { si } b\leq x \end{array}\right.$$

  

Figura: Función de densidad y de distribución de ${ {{\bf U} \left ( a,b \right )} }$

La función característica es

$$\phi_X(t) = \int_a^b e^{itx} \frac{1}{b-a} \,dx = \frac{1}{b-... ...c{1}{it} e^{itx} \right]_a^b = \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$$

Como esta distribución es muy simple, vamos a calcular sus momentos más usuales directamente a partir de la definición, en lugar de usar la función característica:

$${ {{\bf E} \left[ X \right]} }= \int_a^b x \frac{1}{b-a}\,dx ... ... \left[x^2\right]_a^b = \frac{b^2-a^2}{2(b-a)} = \frac{b+a}{2}$$

$${ {{\bf E} \left[ X^2 \right]} }= \int_a^b x^2 \frac{1}{b-a}\... ...ft[x^3\right]_a^b = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{(b+a)^2}{3}$$

$${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }= { {{\bf E} \left[ X^2 \right]} }-{ {{\bf E} \left[ X \right]} }^2 = \frac{(b-a)^2}{12}$$