6.6 Reproductividad de familias de v.a.

Las variables aleatorias relacionadas entre si por uno o más parámetros mediante f, o lo que es equivalente según el teorema de Fourier (página ), mediante su función característica, las hemos agrupado en familias de v.a. que hemos denotado de modo genérico ${ {{\bf Fam} \left( p \right)} }$. Para cualquier tipo de familia de v.a. ${ {{\bf Fam} \left( p \right)} }$, diremos que esta reproductiva respecto al parámetro p, si al considerar $X_1,\dots,X_n$ independientes, donde $X_i{\leadsto}{ {{\bf Fam} \left( p_i \right)} },\:i=1,\dots,n$ se tiene que la suma de todas ellas es una v.a. de la misma familia, pero con parámetro $p_1+\cdots +p_n$

$$\begin{eqnarray}\html{eqn40}&{ {{\bf Fam} \left( p \right)} } \mbox{ reproductiv... ...dots X_n{\leadsto}{ {{\bf Fam} \left( p_1+\cdots+p_n \right)} } & \end{eqnarray}$$

Por ejemplo ${ {{\bf Ber} \left( p \right)} }$ no es reproductiva con respecto a p, ya que la suma de dos v.a. de esa familia no sigue una distribución de Bernouilli. Sin embargo la familia ${ {{\bf B} \left( {\bf n},p \right)} }$ lo es con respecto al parámetro ${\bf n}$, ya que

$$\begin{eqnarray}\html{eqn41}\left\{ \begin{array}{l} X{\leadsto}{ {{\bf B} \left... ...}_{Y}{\leadsto} { {{\bf B} \left( n_1+n_2,p \right)} } \nonumber \end{eqnarray}$$

Un modo sencillo de ver si una familia de distribuciones es reproductiva con respecto a algún parámetro es analizar su función característica utilizando el teorema de la página . Por ejemplo el mismo resultado se puede obtener para la distribución binomial teniendo en cuenta que

$$\begin{eqnarray}\html{eqn49}\left\{ \begin{array}{l} X{\leadsto}{ {{\bf B} \left... ...X+Y {\leadsto}{ {{\bf Ber} \left( n_1+n_2,p \right)} } \nonumber \end{eqnarray}$$

Utilizando el mismo argumento, tenemos que otra distribuciones reproductiva es ${ {{\bf Poi} \left( \lambda \right)} }$.