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Subsecciones

6.4.12 Distribución de Poisson (o de los sucesos raros)

Una v.a. X posee una ley de distribución de probabilidades del tipo Poisson cuando \begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
f(k) = {{\cal P}}[X=k]= \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \qquad
k=0,1,2,\dots
$ } }
}
\end{displaymath}

Este tipo de leyes se aplican a sucesos con probabilidad muy baja de ocurrir, obteniéndose como la distribución límite de una sucesión de variable binomiales, ${ {{\bf B} \left ( n,p \right )} }$, donde $n\cdot p = \lambda$, y $n\rightarrow \infty$ (por tanto $p\rightarrow 0^+$).


\begin{displaymath}\{X_n\}_{n=1}^{\infty}, \mbox{ donde } X_n {\leadsto}{ {{\bf ...
...rightarrow X {\leadsto}
{ {{\bf Poi} \left( \lambda \right)} }
\end{displaymath}

La demostración de esto consiste en

\begin{eqnarray}\html{eqn37}\lim_{n\rightarrow\infty} {{\cal P}}[X_n=k] &=&
\li...
...&
\nonumber \\
&=&
\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\nonumber
\end{eqnarray}


En general utilizaremos la distribución de Poisson como aproximación de experimentos binomiales donde el número de pruebas es muy alto, pero la probabilidad de éxito muy baja. A veces se suele utilizar como criterio de aproximación:


\begin{displaymath}n>30,\, p \leq 0,1 \;\Rightarrow { {{\bf B} \left( n,p \right)} }\,\cong { {{\bf Poi} \left( n\cdot p \right)} }
\end{displaymath}

La ley de Poisson la podemos encontrar tabulada en la tabla número 2, para ciertos valores usuales de $\lambda$.

La función característica de $X{\leadsto}{ {{\bf Poi} \left( \lambda \right)} }$ es


\begin{displaymath}\phi_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}...
...lambda} e^{\lambda e ^{it}} = e^{\lambda\left(e^{it}-1\right)}
\end{displaymath}

de lo que se deduce que valor esperado y varianza coinciden

\begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
{ {{\bf E} \left[ X \right]} }= { {{\bf Var } \left[ X \right]} } = \lambda
$ } }
}
\end{displaymath}

6.4.12.1 Ejemplo

Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad. Calcular el número esperado de habitantes que la padecen.

Solución: Si consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien aproximado por un modelo de Poisson, de modo que


\begin{displaymath}X{\leadsto}{ {{\bf B} \left( n=500.000, p=\frac{1}{100.000} \...
...{\approx}{\leadsto}\:}{ {{\bf Poi} \left( \lambda=5 \right)} }
\end{displaymath}

Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }=5$. Como ${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }=5$, existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas enfermas es:

\begin{eqnarray}\html{eqn40}{{\cal P}}[X>3] &=& 1- {{\cal P}}[X\leq 3]
\nonumber...
...!} -
\frac{e^{-5\cdot 3}}{3!}
\nonumber \\
&=& 0,735
\nonumber
\end{eqnarray}



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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo