6.4.6 Distribución geométrica ( o de fracasos)

Consideramos una sucesión de v.a. independientes de Bernouilli,

$$X_1,X_2,\dots, X_i,\dots \qquad \mbox{donde } X_i {\leadsto}{ {{\bf Ber} \left( p \right)} },\: i=1,2,\dots,\infty$$

Una v.a. X sigue posee una distribución geométrica, $X {\leadsto}{ {{\bf Geo} \left( p \right)} }$, si esta es la suma del número de fracasos obtenidos hasta la aparición del primer éxito en la sucesión $\left\{X_i\right\}_{i=1}^{\infty}$. Por ejemplo

$$\left\vert \begin{array}{ccccccccc} X_1&X_2&X_3&X_4& X_5& \cd... ... & X=3 & f(3) = qqqp \\ & & & & & & \dots& \end{array}\right.$$

De este modo tenemos que la ley de probabilidad de X es

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle f(k) = {{\cal P}}[X=k] = pq^k,\qquad k=0,1,2,\dots,\infty $ } } }$$

6.4.6.1 Observación

Es sencillo comprobar que realmente f es una ley de probabilidad, es decir, $\sum_{k=0}^{\infty} f(k) =1$. Para ello basta observar que la sucesión $\left\{pq^k\right\}_{k=0}^{\infty}$ es una progresión geométrica de razón q, a la que podemos aplicar su fórmula de sumación:

$$\sum_{k=0}^{\infty} f(k) =\sum_{k=0}^{\infty} pq^k = p\, \sum_{k=0}^{\infty} q^k= p \, \frac{1}{1-q}=\frac{p}{p} =1$$

6.4.6.2 Observación

En la distribución geométrica el conjunto de posibles valores que puede tomar la variable ($I\!\!I$) es infinito numerable, mientras que en la de Bernouilli y en la binomial, estos eran en número finito.

La función característica se calcula teniendo en cuenta que de nuevo aparece la sumación de los términos de una progresión geométrica, pero esta vez de razón e^it q:

$$\phi_X(t) = { {{\bf E} \left[ e^{itX} \right]} } = \sum_{k=0}... ...um_{k=0}^{\infty} \left(e^{it}q\right)^k = \frac{p}{1-e^{it}q}$$

La media y varianza de esta variable aleatoria son:

$${ {{\bf E} \left[ X \right]} }=\frac{\phi_X^,(0)}{i} = \frac... ...\frac{p{\!\!\!\setminus}q}{p^{2{\!\!\!\setminus}}}=\frac{q}{p}$$

$${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }=\frac{q}{p^2}$$

6.4.6.3 Ejemplo

Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.

Solución: Este es un ejemplo de variable geométrica. Vamos a suponer que la probabilidad de tener un hijo varón es la misma que la de tener una hija hembra. Sea X la v.a.

$$X=\mbox{ número de hijos varones antes de nacer la niña}$$

Es claro que

$$X{\leadsto}{ {{\bf Geo} \left( p=\frac{1}{2} \right)} }\;\Lon... ...trightarrow\; {{\cal P}}[X=k] = q^{k-1}\cdot p = \frac{1}{2^k}$$

Sabemos que el número esperado de hijos varones es ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }=\displaystyle \frac{q}{p} = 1$, por tanto el número esperado en total entre hijos varones y la niña es 2.

La probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres o más hijos, es la de que tenga 2 o más hijos varones (la niña está del tercer lugar en adelante), es decir,

$$\begin{eqnarray}\html{eqn16}{{\cal P}}[X\geq 2] &=& 1-\overbrace{{{\cal P}}[X<2]... ...\cal P}}[X=0]-{{\cal P}}[X=1] =1-p -q\,p = \frac{1}{4} \nonumber \end{eqnarray}$$

Hemos preferido calcular la probabilidad pedida mediante el suceso complementario, ya que sería más complicado hacerlo mediante la suma infinita

$${{\cal P}}[X\geq 2] = \sum_{i=2}^{\infty} q^i p .$$

6.4.6.4 Observación

La distribución exponencial también puede ser definida como el número de pruebas realizadas hasta la obtención del primer éxito (como hubiese sido más adecuado en el ejemplo anterior). En este caso es un ejercicio sencillo comprobar que X sólo puede tomar valores naturales mayores o iguales a 1, y que:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn16}f(k) &=& p \cdot q^{k-1},\qquad k=1,2,\cdots,\infty ... ...\\ { {{\bf Var } \left[ X \right]} }&=& =\frac{q}{p} \nonumber \end{eqnarray}$$