1.7.4 Tablas estadísticas

Consideremos una población estadística de n individuos, descrita según un carácter o variable C cuyas modalidades han sido agrupadas en un número k de clases, que denotamos mediante $c_1,c_2,\dots,c_k$. Para cada una de las clases c_i, $i=1,\dots,k$, introducimos las siguientes magnitudes:

Frecuencia absoluta

de la clase c_i es el número n_i, de observaciones que presentan una modalidad perteneciente a esa clase.

Frecuencia relativa

de la clase c_i es el cociente f_i, entre las frecuencias absolutas de dicha clase y el número total de observaciones, es decir

$$f_i = \frac{n_i}{n}$$

Obsérvese que f_i es el tanto por uno de observaciones que están en la clase c_i. Multiplicado por $100\%$representa el porcentaje de la población que comprende esa clase.

Frecuencia absoluta acumulada

N_i, se calcula sobre variables cuantitativas o cuasicuantitativas, y es el número de elementos de la población cuya modalidad es inferior o equivalente a la modalidad c_i:

$$N_i = n_1+ n_2 + \dots + n_i = \sum_{j=1}^i \, n_j$$

Frecuencia relativa acumulada

, F_i, se calcula sobre variables cuantitativas o cuasicuantitativas, siendo el tanto por uno de los elementos de la población que están en alguna de las clases y que presentan una modalidad inferior o igual a la c_i, es decir,

$$F_i = \frac{N_i}{n} = \frac{n_1 + \dots + n_i}{n} = f_1 + \dots +f_i = \sum_{j=1}^i \, f_j$$

Como todas las modalidades son exhaustivas e incompatibles ha de ocurrir que

$$\sum_{i=1}^k n_i = n_1 + n_2 + \dots + n_k = n$$

o lo que es lo mismo,

$$\sum_{i=1}^k f_i = \sum_{i=1}^k \frac{n_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^k n_i}{n} = \frac{n}{n}=1.$$

Frecuencia absoluta (n_i): Número de elementos que presentan la clase x_i.

Frecuencia relativa: $$f_i = n_i/N$$.
Frecuencia absoluta acumulada: $$N_i = \sum_{j=1}^i \, n_j$$.
Frecuencia relativa acumulada: $$F_i= N_i/N =\sum_{j=1}^i \, f_j$$

Llamaremos distribución de frecuencias al conjunto de clases junto a las frecuencias correspondientes a cada una de ellas. Una tabla estadística sirve para presentar de forma ordenada las distribuciones de frecuencias. Su forma general es la siguiente:

Modali.	Frec. Abs.	Frec. Rel.	Frec. Abs. Acumu.	Frec. Rel. Acumu.
C	ni	fi	Ni	Fi
c1	n1	$f_1 = \frac{n_1}{n}$	N1 = n1	$F_1 = \frac{N_1}{n} =f_1$
...	...	...	...	...
cj	nj	$f_j = \frac{n_j}{n}$	$N_j = n_1 +\dots n_j$	$F_j = \frac{N_j}{n} =f_1 + \dots + f_j$
...	...	...	...	...
ck	nk	$f_k = \frac{n_k}{n}$	Nk = n	Fk = 1
	n	1

1.7.4.1 Ejemplo

Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla:

li-1 -- li	ni	fi	Ni
0 -- 10	60	f1	60
10 -- 20	n2	0,4	N2
20 -- 30	30	f3	170
30 -- 100	n4	0,1	N4
100 -- 200	n5	f5	200
	n

Solución:

Sabemos que la última frecuencia acumulada es igual al total de observaciones, luego n=200.

Como N₃=170 y n₃=30, entonces

N₂=N₃-n₃=170-30=140.

Además al ser n₁=60, tenemos que

n₂=N₂-n₁=140-60=80.

Por otro lado podemos calcular n₄ teniendo en cuenta que conocemos la frecuencia relativa correspondiente:

$$f_4=\frac{n_4}{n} \qquad \Longrightarrow\qquad n_4 = f_4 \cdot n = 0,1 \times 200 = 20$$

Así:

N₄=n₄+N₃=20+170 =190.

Este último cálculo nos permite obtener

n₅=N₅-N₄=200-190=10.

Al haber calculado todas las frecuencias absolutas, es inmediato obtener las relativas:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn0}f_1 &=& \frac{n_1}{n}=\frac{60}{200}=0,3 \nonumber \\... ...\nonumber \\ f_5 &=& \frac{n_5}{n}=\frac{10}{200}=0,05 \nonumber \end{eqnarray}$$

Escribimos entonces la tabla completa:

li-1 -- li	ni	fi	Ni
0 -- 10	60	0,3	60
10 -- 20	80	0,4	140
20 -- 30	30	0,15	170
30 -- 100	20	0,1	190
100 -- 200	10	0,05	200
	200

1.7.4.2 Elección de las clases

En cuanto a la elección de las clases, deben seguirse los siguientes criterios en función del tipo de variable que estudiemos:

• Cuando se trate de variables cualitativas o cuasicuantitativas, las clases c_i serán de tipo nominal;

• En el caso de variables cuantitativas, existen dos posibilidades:

  • Si la variable es discreta, las clases serán valores numéricos $x_1,\dots,x_k$;

  • Si la variable es continua las clases vendrán definidas mediante lo que denominamos intervalos. En este caso, las modalidades que contiene una clase son todos los valores numéricos posibles contenidos en el intervalo, el cual viene normalmente definido de la forma

    
    

    $$\left[l_{i-1} , l_{i}\right) = \left\{ x \: : \: l_{i-1} \leq x < l_i \right\}$$
    
    

    o bien

    
    

    $$\left(l_{i-1} , l_{i}\right] = \left\{ x \: : \: l_{i-1} < x \leq l_{i} \right\}$$
    
    

    En estos casos llamaremos amplitud del intervalo a las cantidades

    
    

    a_i = l_i-l_i-1
    
    

    y marca de clase c_i, a un punto representativo del intervalo. Si éste es acotado, tomamos como marca de clase al punto más representativo, es decir al punto medio del intervalo,

    
    

    $$c_i = \frac{l_{i}+l_{i-1}}{2}.$$
    
    

    La marca de clase no es más que una forma abreviada de representar un intervalo mediante uno de sus puntos. Por ello hemos tomado como representante, el punto medio del mismo. Esto está plenamente justificado si recordamos que cuando se mide una variable continua como el peso, la cantidad con cierto número de decimales que expresa esta medición, no es el valor exacto de la variable, sino una medida que contiene cierto margen de error, y por tanto representa a todo un intervalo del cual ella es el centro.

En el caso de variables continuas, la forma de la tabla estadística es la siguiente:

Interv.	M. clase	Frec. Abs.	Frec. Rel.	Frec. Abs. Acum.	Frec. Rel. Acum.
	C	ni	fi	Ni	Fi
l0 -- l1	c1	n1	$f_1 = \frac{n_1}{n}$	N1 = n1	F1 = f1
...	...	...	...	...	...
lj-1 -- lj	cj	nj	$f_j = \frac{n_j}{n}$	Nj= Nj-1+nj	Fj = Fj-1 + fj
...	...	...	...	...	...
lk-1 -- lk	ck	nk	$f_k = \frac{n_k}{n}$	Nk=n	Fk =1
		n	1

1.7.4.3 Elección de intervalos para variables continuas

A la hora de seleccionar los intervalos para las variables continuas, se plantean varios problemas como son el número de intervalos a elegir y sus tamaños respectivos. La notación más común que usaremos para un intervalo sea

$$\mbox{$l_{j-1}$\space --- $l_j$ } \stackrel{def}{\equiv} \left( \mbox{$l_{j-1}$ ,$l_j$ }\right].$$

El primer intervalo, l₀ -- l₁, podemos a cerrarlo en el extremo inferior para no excluir la observación más pequeña, l₀

$$\mbox{$l_{0}$\space --- $l_1$ } \stackrel{def}{\equiv} \left[ \mbox{$l_{0}$ ,$l_1$ }\right].$$

Éste es un convenio que tomaremos en las páginas que siguen. El considerar los intervalos por el lado izquierdo y abrirlos por el derecho no cambia de modo significativo nada de lo que expondremos.

El número de intervalos, k, a utilizar no está determinado de forma fija y por tanto tomaremos un k que nos permita trabajar cómodamente y ver bien la estructura de los datos; Como referencia nosotros tomaremos una de los siguientes valores aproximados:

$$\mbox{$N^{\circ}$\space intervalos } \equiv k \approx \left\{... ...e 1+ 3,22 \, \log n & \mbox{ en otro caso.} \end{array}\right.$$

Por ejemplo si el número de observaciones que tenemos es n=100, un buen criterio es agrupar las observaciones en $k=\sqrt{100}=10$intervalos. Sin embargo si tenemos n=1.000.000, será mas razonable elegir $k=1+ 3,22 \, \log n\approx 20$ intervalos, que $k=\sqrt{1.000.000}=1.000$.

La amplitud de cada intervalo

a_i = l_i -l_i-1

suele tomarse constante, considerando la observación más pequeña y más grande de la población (respectivamente $l_0=x_{\min}$ y $l_k=x_{\max}$) para calcular la amplitud total, A, de la población

A= l_k - l₀

de forma que la amplitud de cada intervalo sea:

$$a_i = a \:\:\: \forall \,i=1,\dots,k \qquad \mbox{donde}\qquad a= \frac{A}{k}$$

Así la división en intervalos podría hacerse tomando:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn0}l_0 &=& x_{\min} \nonumber \\ l_1 &=& l_0 + a \nonumber \\ & \dots& \\ l_k &=& x_{\max} \: = l_0 +k\,a \nonumber \end{eqnarray}$$

1.7.4.4 Observación

Podría ocurrir que la cantidad a fuese un número muy desagradable a la hora de escribir los intervalos (ej. a=10,325467). En este caso, es recomendable variar simétricamente los extremos, $l_0 < x_{\min} < x_{\max} < l_k$, de forma que se tenga que a es un número más simple (ej. a=10).

Recorrido: $x_{\max}-x_{\min}$

Amplitud: a_i= l_i - l_i-1

Marca de clase: $x_i = \displaystyle \frac{l_{i-1} + l_{i}}{2}$

Frecuencias rectificadas: $f_i{\mbox{$'$ }}= \displaystyle \frac{n_i}{a_i}$;      $n_i{\mbox{$'$ }}= f_i{\mbox{$'$ }}\cdot n$

1.7.4.5 Ejemplo

Sobre un grupo de n=21 personas se realizan las siguientes observaciones de sus pesos, medidos en kilogramos:

$X{\leadsto}x_1,x_2,\dots,x_{21}$
58	42	51	54	40	39	49
56	58	57	59	63	58	66
70	72	71	69	70	68	64

Agrupar los datos en una tabla estadística.

Solución:

En primer lugar hay que observar que si denominamos X a la variable ``peso de cada persona'' esta es una variable de tipo cuantitativa y continua. Por tanto a la hora de ser ordenados los resultados en una tabla estadística, esto se ha de hacer agrupándolos en intervalos de longitud conveniente. Esto nos lleva a perder cierto grado de precisión. Para que la perdida de información no sea muy relevante seguimos el criterio de utilizar $k\approx\sqrt{n}=\sqrt{21}$ intervalos (no son demasiadas las observaciones). En este punto podemos tomar bien k=4 o bien k=5. Arbitrariamente se elige una de estas dos posibilidades. Por ejemplo, vamos a tomar k=5.

Lo siguiente es determinar la longitud de cada intervalo, a_i $\forall \, i=1,\dots, 5$. Lo más cómodo es tomar la misma longitud en todos los intervalos, a_i=a (aunque esto no tiene por qué ser necesariamente así), donde

$$\begin{eqnarray}\html{eqn1}a&=&\frac{A}{5} = \frac{33}{5}= 6,6 \nonumber \\ A&=... ...\\ l_0&=& x_{min}= 39 \nonumber \\ l_5&=& x_{max}= 72 \nonumber \end{eqnarray}$$

Entonces tomaremos k=5 intervalos de longitud a=6,6comenzando por l₀=x_min=39 y terminando en l₅=33:

	Intervalos	M. clase	f.a.	f.r.	f.a.a.	f.r.a.
	li-1 -- li	ci	ni	fi	Ni	Fi
i=1	39 -- 45,6	42,3	3	0,1428	3	0,1428
i=2	45,6 -- 52,2	48,9	2	0,0952	5	0,2381
i=3	52,2 -- 58,8	55,5	6	0,2857	11	0,5238
i=4	58,8 -- 65,4	62,1	3	0,1428	14	0,6667
i=5	65,4 -- 72	68,7	7	0,3333	21	$\approx 1$
			21	$\approx 1$

Otra posibilidad a la hora de construir la tabla, y que nos permite que trabajemos con cantidades más simples a la hora de construir los intervalos, es la siguiente. Como la regla para elegir l₀ y l₅ no es muy estricta podemos hacer la siguiente elección:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn1}a'&=& 7 \nonumber \\ A'&=&a' \cdot 5 = 35 \nonumber ... ... \nonumber \\ l_5&=& x_{max}+ \frac{d}{2}= 72 + 1 = 73 \nonumber \end{eqnarray}$$

ya que así la tabla estadística no contiene decimales en la expresión de los intervalos, y el exceso d, cometido al ampliar el rango de las observaciones desde A hasta A', se reparte del mismo modo a los lados de las observaciones menores y mayores:

	Intervalos	M. clase	f.a.	f.r.	f.a.a.	f.r.a.
	li-1 -- li	ci	ni	fi	Ni	Fi
i=1	38 -- 45	41,5	3	0,1428	3	0,1428
i=2	45 -- 52	48,5	2	0,0952	5	0,2381
i=3	52 -- 59	55,5	7	0,3333	12	0,5714
i=4	59 -- 66	62,5	3	0,1428	15	0,7143
i=5	66 -- 73	69,5	6	0,2857	21	$\approx 1$
			21	$\approx 1$