6.4.2 Distribución de Bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta Xque toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota $X {\leadsto}{ {{\bf Ber} \left( p \right)} }$

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle X{\leadsto}{ {{\bf Ber} \left( ... ...ongrightarrow & p = {{\cal P}}[X=1] \end{array}\right. $ } } }$$

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la v.a.

$$X \equiv \mbox{ número de caras obtenidas} = \left\{ \begin{a... ...longrightarrow &\displaystyle p=\frac{1}{2} \end{array}\right.$$

Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} q & \mbox{ si } x=0 \\ p & ... ...=1 \\ 0 & \mbox { en cualquier otro caso;} \end{array}\right.$$

y su función de distribución:

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ si } x < 0 \\ q ... ... } 0 \leq x< 1 \\ 1 & \mbox{ si } x \geq 1 \end{array}\right.$$

Su función característica es:

$$\phi_X(t) = \sum_{x_i=0,1} e^{itx_i} f(x_i) = e^{it0} f(0) + e^{it1} f(1) = q + p\cdot e^{it}$$

Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente

$$\begin{eqnarray}\html{eqn2}{ {{\bf E} \left[ X \right]} } &=& \sum_{x_i=0,1} x_i... ...{ {{\bf E} \left[ X \right]} }^2 = p-p^2 = p\cdot (1-p)= p\cdot q \end{eqnarray}$$

o bien usando la función característica y la proposición de la página :

$${ {{\bf E} \left[ X \right]} } = \left. \frac{\phi_X^,(t)}{i}... ...^{it}}{i {\!\!\!\setminus}} \right\vert _{t=0} =p\cdot e^0 = p$$

$${ {{\bf E} \left[ X^2 \right]} } = \left. \frac{\phi_X^{,,}(t... ...it}}{i^2 {\!\!\!\setminus}} \right\vert _{t=0} =p\cdot e^0 = p$$

6.4.2.1 Observación

En este caso tan simple no se aprecia la ventaja de usar la función característica en el cálculo de momentos, pero en las próximas leyes de probabilidad que son más complicadas, esta ventaja se hará manifiesta.