5.8.10 Función característica

Para una v.a. X se define su función característica como:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn27}\phi_X:I\!\!R&\longrightarrow& I\!\!R\\ \nonumber t&... ...tX \right]} } + i\, { {{\bf E} \left[ {\mbox{sen\,}}tX \right]} } \end{eqnarray}$$

donde recordamos que $e^{itx}=\cos tx + i {\mbox{sen\,}}tx$. Esta función también es conocida como transformada de Fourier de f. Su denominación proviene del hecho de que una vez conocida la función característica podemos determinar la función de distribución de la v.a. y recíprocamente.

  
5.8.10.1 Teorema (Fourier)

Si X es una v.a. cuya función característica es $\phi_X$, su función de probabilidad (o densidad de probabilidad) es $$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i t x} \phi_X(t) \,dt$$

Esta propiedad de $\phi_X$ es fundamental, ya que en una gran cantidad de casos es mucho más fácil trabajar con la función característica que con la propia función de probabilidad (o densidad). La razón de ello estriba en una serie de propiedades de la función característica que la hacen muy manejable desde el punto de vista matemático. Algunas de estas propiedades son enunciadas a continuación.

5.8.10.2 Proposición

Para $\phi_X$ se verifican las relaciones

$$\begin{eqnarray}\html{eqn34}\phi_X (0) &=&1 \\ \mid \phi_X(t) \mid &\leq& 1, \q... ...hi_X(-t) &=& \overline{\phi_X(t)}, \qquad \forall \, t \in I\!\!R \end{eqnarray}$$

Demostración

Vamos a suponer que X es continua, pues la demostración para el caso discreto es totalmente análoga. Gracias a la relación (5.1), se tiene que

$$\phi_X(0) = { {{\bf E} \left[ e^{i0X} \right]} }= { {{\bf E} \left[ 1 \right]} }=\int_{-\infty}^{+\infty} 1\cdot f(x)\, dx = 1$$

Por otro lado, es claro que $\mid e^{itx}\mid^2 = \cos^2 tx + {\mbox{sen\,}}^2 tx =1$. De la teoría de la integración es conocido que $\mid \int \, \cdot \mid \leq \int \mid \cdot \mid$. Por todo ello se tiene que si $t \in I\!\!R$

$$\mid \phi_X(t)\mid = \left\vert \int_{-\infty}^{\infty} e^{i ... ...ight\vert \, dx =\int_{-\infty}^{+\infty} 1\cdot f(x)\, dx = 1$$

Por último

$$\phi_X(-t) = { {{\bf E} \left[ e^{-itX} \right]} }={ {{\bf E}... ...f E} \left[ {\mbox{sen\,}}tX \right]} } = \overline{\phi_X(t)}$$

En lo referente a cambios de origen y escala, el comportamiento de la función característica es el siguiente:

  
5.8.10.3 Proposición

$$Y=a+bX \qquad \Longrightarrow \qquad \phi_Y(t)= e^{ita} \phi_X(bt)$$

Demostración

$$\phi_Y(t) = { {{\bf E} \left[ e^{itY} \right]} } = { {{\bf E}... ...bf E} \left[ e^{ita} e^{i(tb)X} \right]} }= e^{ita} \phi_X(bt)$$

Una propiedad de $\phi$ que es muy usada es que la suma de v.a. independientes tiene por función característica el producto de las respectivas funciones características. Es decir:

  
5.8.10.4 Teorema

Sean X e Y v.a. independientes. Entonces

$$\phi_{X+Y}(t)=\phi_{X}(t)\cdot\phi_Y(t), \qquad \forall \, t \in I\!\!R$$

Este resultado es también cierto para el caso de n v.a. independientes.

La última propiedad de $\phi$ que enunciamos es que al igual que la función generatriz de momentos, esta nos permite calcular los momentos de la variable (y por tanto su esperanza y su varianza).

  
5.8.10.5 Proposición

$${ {{\bf E} \left[ X^r \right]} }= \frac{\phi_X^{(r)}(0)}{i^r}$$

Demostración

$$\begin{eqnarray}\html{eqn37}\phi_X^{(r)}(t) &=& \int_{-\infty}^{+\infty} i^k x^k... ...r} &=& \int_{-\infty}^{+\infty} x^k e^{itx} f(x) \,dx \nonumber \end{eqnarray}$$