5.8.8 Desigualdad de Tchebycheff y v.a. tipificadas

Si X es una variable aleatoria con esperanza ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }=\mu$, y varianza ${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }=\sigma^2$, se puede demostrar que en general, una gran parte de la masa se encuentra en un intervalo centrado en $\mu$ y que tiene por amplitud varias veces $\sigma$. Más precisamente, la desigualdad de Thebycheff afirma que si consideramos un intervalo de centro $\mu$ y radio k veces $\sigma$, la probabilidad de realizar una observación de la variable y que esta no esté en dicho intervalo es inferior o igual a 1/k². Matemáticamente esto se formula como:

  
5.8.8.1 Teorema (Thebycheff)

Si X es v.a. con ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }=\mu$ y ${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }=\sigma^2$, entonces

$$\forall k>0,\qquad {{\cal P}}\left[\mid X- \mu \mid \geq k\sigma \right] \leq \frac{1}{k^2}$$

Este importante resultado, por si sólo, justifica el que $\mu$ sea una medida de centralización y $\sigma$ (o bien $\sigma ^2$) de dispersión de X y motiva la introducción del concepto de tipificación de variables aleatorias. Dada una v.a. X, definimos su v.a. tipificada, Z, como:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

que es una v.a. tal que

$$\begin{eqnarray}\html{eqn25}{ {{\bf E} \left[ Z \right]} }&=&0 \\ { {{\bf Var } \left[ Z \right]} }&=&1 \end{eqnarray}$$

El teorema de Thebycheff afirma sobre U que

$${{\cal P}}[ \vert Z\vert \geq k ] \leq \frac{1}{k^2}$$