5.8.4 Varianza

La varianza la denotamos mediante ${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }$ o bien $\sigma ^2$:

$${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }={ {{\bf E} \left[ \left(X-{... ...ot f(x) \, dx & \mbox{ si $X$\space cont.} \end{array}\right.$$

Obsérvese que del mismo modo en que se demuestra la relación 2.11 se comprueba que $${ {{\bf Var } \left[ X \right]} } = { {{\bf E} \left[ X^2 \ri... ...rightarrow \sigma^2 = { {{\bf E} \left[ X^2 \right]} } - \mu^2$$
y que usando la demostración de la proposición de la página se tiene que

 $${ {{\bf Var } \left[ a+b\cdot X \right]} }= b^2\cdot{ {{\bf Var } \left[ X \right]} }$$

5.8.4.1 Ejemplo

Consideramos una variable aleatoria discreta con función de probabilidad:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{c}{4^x} \quad \mbox{ par... ...,2,\dots \\ \\ 0 \quad\mbox{ en el resto} \end{array}\right.$$

Obtener:

1.

El valor de la constante c para que sea una función de probabilidad.

2.

Los valores de las funciones de probabilidad y distribución para $x=1,2,3,4,\dots$

3.

Calcular ${{\cal P}}[x=3]$ y ${{\cal P}}[x\leq 3]$.

Solución:

1.

$$\sum_{x=1}^\infty \frac c{4^x}=1=c(\frac 14+\frac 1{4^2}+ \frac 1{4^3}+\cdots)=\frac c3,$$

ya que tenemos la suma de una progresión geométrica de razón menor que la unidad:

$$\partial =\frac{a_1}{1-r}=\frac{\frac 14}{1-\frac 14}=\frac 13$$

Luego c=3. Así la función de probabilidad es:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{4^x} \quad \mbox{ par... ...,2,\dots \\ \\ 0 \quad\mbox{ en el resto} \end{array}\right.$$

2.

Calculemos sucesivos valores de f(x) y F(x):

xi	f(x)	F(x)
2	3/4=0,75	0,75
3	3/16=0,19	0,94
4	3/64=0,047	0,987
5	3/256=0,012	0,999
$\dots$	$\dots$	$\dots$

Se observa que cuando $x\uparrow\infty$, $f(x)\downarrow 0$ y $F(x) \uparrow 1$

3.

${{\cal P}}[X=3]=f(3)=0,047$; ${{\cal P}}[X\leq 3]=F(3)=0,987$

5.8.4.2 Ejemplo

Consideremos una variable aleatoria continua con función de densidad

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} c\cdot x^3 \quad \mbox{ para ... ... x\leq 1 \\ \\ 0 \quad\mbox{ en el resto} \end{array}\right.$$

Se pide:

1.

El valor de la constante c para que sea una función de densidad.

2.

La función de distribución.

3.

La media o valor esperado.

4.

Probabilidad de que la variable este comprendida entre 0,2 y 0,7

Solución:

1.

$$\int_0^1c\cdot x^3dx=c\cdot \left[ \frac{x^4}4\right] _0^1=c\frac 14$$

Por ser f una densidad se ha de verificar:

$$\int_0^1f(x)dx=1=c\frac 14\quad \Rightarrow c=4\Rightarrow f(x)=4x^3$$

2.

$$F(x)=\int_{-\infty }^xf(x)dx =\int_{-\infty }^x4x^3dx=\int_0^x4x^3dx=\left[ 4\frac{x^4}4\right] _0^x=x^4$$

Luego, la función de distinción es

$$F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0 \quad\mbox{si } x\leq0 \\ \... ...si }o<x\leq 1 \\ \\ 1 \quad\mbox{si }x>1 \end{array}\right.$$

3.

Media :

$$\begin{eqnarray}\html{eqn21}{ {{\bf E} \left[ X \right]} }&=&\int_{-\infty }^\in... ...r \\ &=& 4\left[ \frac{x^5}5\right] _0^1=\frac 45=0,8 \nonumber \end{eqnarray}$$

4.

${{\cal P}}[0,2\leq x\leq 0,7]=F(0,7)-F(0,2)=0,7^4-0,2^4=0,24$

5.8.4.3 Ejemplo

La variable aleatoria continua X tiene como función de densidad:

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0 \quad \mbox{ para } x< 0 \\ ... ... 0\leq x\leq 1 \\ \\ 0 \mbox{ para } x> 1 \end{array}\right.$$

Determinar :

1.

Media

2.

Varianza

3.

${{\cal P}}[0,2\leq x\leq 0,8]$

Solución:

1.

$$\begin{eqnarray}\html{eqn21}E(x)&=&\mu=\mu _1 \nonumber \\ &=&\int_{-\infty }^\... ...\frac{x^2}2\right] _0^1 \nonumber \\ &=& \frac 12=0,5 \nonumber \end{eqnarray}$$

2.

${{\cal S}^{2}}{x}=m_2=\mu _2-\mu _1^2$. El momento central de primer orden con respecto al origen $\mu_1$ ya ha sido calculado antes. El momento central de segundo orden con respecto al origen, $\mu_2$ es:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn21}\mu _2&=&\int_{-\infty }^\infty x^2\cdot f(x)\,dx \n... ...onumber \\ &=&\left[ \frac{x^3}3\right] _0^1=\frac 13 \nonumber \end{eqnarray}$$

Luego

$${{\cal S}^{2}}{X}=\frac 13-\left( \frac 12\right) ^2=0,08$$

3.

Hay que calcular la probabilidad del intervalo de la Figura 5.6:

  

Figura: La probabilidad del intervalo 0,2--0,8 es el área de la zona sombreada

$${{\cal P}}[0,2\leq x\leq 0,8]=\int_{0,2}^{0,8}f(x)\,dx= \int_{0,2}^{0,8}\,dx=\left[ x\right] _{0,2}^{0,8}=0,6$$

La esperanza matemática y la varianza pueden ser calculadas a partir de otras medidas, que son los momentos.