5.8.2 Valor esperado o esperanza matemática

Sea X una v.a. discreta. Se denomina esperanza matemática de X o valor esperado, y se denota bien ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }$ o bien $\mu$, a la cantidad que se expresa como:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle { {{\bf E} \left[ X \right]} } = \sum_{i \in I\!\!I} x_i f(x_i) $ } } }$$

donde $I\!\!I$ es el conjunto numerable de índices de los valores que puede tomar la variable (por ejemplo $I\!\!I= \{1,2,\dots,k\}$ para un número finito de valores de la v.a. o bien $I\!\!I= I\!\!N$ para una cantidad infinita numerable de los mismos.

Si X es una v.a. continua, se define su esperanza a partir de la función de densidad como sigue:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle { {{\bf E} \left[ X \right]} } = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx $ } } }$$

5.8.2.1 Observación

Recordamos que si

$$\left. \begin{array}{c} X:E \longrightarrow I\!\!R \\ \\ h:... ... E \longrightarrow I\!\!R \qquad \mbox{es variable aleatoria}$$

y por tanto tiene sentido calcular su esperanza matemática:

$${ {{\bf E} \left[ h(X) \right]} } = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) \cdot f(x) \, dx$$

Por las analogías existente entre la definición de media aritmética y esperanza matemática, las propiedades de linealidad de la primera se trasladan a la segunda, como es inmediato comprobar:

 $${ {{\bf E} \left[ a+b\cdot X \right]} } = a + b\cdot{ {{\bf E} \left[ X \right]} }$$

$${ {{\bf E} \left[ X-{ {{\bf E} \left[ X \right]} } \right]} }... ... {{\bf E} \left[ X \right]} }-{ {{\bf E} \left[ X \right]} }=0$$