5.6.2 Cambio de variable

Sea X una v.a. cualquiera. Si realizamos el cambio de variable Y=h(X), tenemos una nueva v.a. de modo que las probabilidades sobre la misma se calculan del modo:

$$F_y(y) = {{\cal P}}[Y\leq y] = {{\cal P}}[X\in h^{-1}(y)]$$

Si X es una v.a. continua cuya función de densidad es f_x, la función de densidad de Y, f_y, admite la siguiente expresión:

5.6.2.1 Proposición

Si X es una v.a. continua e Y=h(X), donde h es una función derivable e inyectiva, entonces se tiene que para los elementos y de su imagen,

$$f_y(y) = f_x(h^{-1}(y))\cdot\left\vert\frac{d\,x}{d\,y}\right\vert$$

donde se tiene que

$$\frac{d\,x}{d\,y} = \frac{1}{h'(h^{-1}(y))}.$$

En el caso en que la aplicación no sea inyectiva, podemos tener para un y dado ciertos x₁, x₂, ..., x_n tales que f(x_i)=y. En este caso:

$$f_y(y) = \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \left\vert\frac{d\,x_i}{d\,y}\right\vert$$

donde

$$\frac{d\,x_i}{d\,y} = \frac{1}{h'(x_i)}.$$

Una aplicación interesante del cambio de v.a. es la siguiente: Sea X una v.a. continua cualquiera con función de distribución derivable, con derivada no nula (en su soporte), F_x. Veamos cual es la distribución de la nueva v.a.

Y=F_x^-1(X)

Como F es creciente, es también inyectiva. Por tanto para $y\in [0,1]$,

$$\begin{eqnarray}\html{eqn8}\nonumber f_y(y) &=& f_x(F^{-1}(y))\cdot\left\vert\fr... ...) \cdot \left\vert \frac{1}{f_x(F_x^{-1}(y))}\right\vert \\ &=& 1 \end{eqnarray}$$

La distribución de Y aparecerá más adelante con el nombre de distribución uniforme en [0,1], y como justificación del método de Montecarlo.

Otro cambio de variable importante es Y=X² ( $h:I\!\!R\rightarrow I\!\!R^+$, h(x)=x²). En este caso la relación entre los puntos de $I\!\!R$ y $h(I\!\!R)=I\!\!R^+$no es inyectiva. Aplicando la proposición anterior se tiene entonces que

 $$f_y(y) = f_x(\sqrt{y}) \, \frac{1}{2\,\sqrt{y}} + f_x(-\sqrt{y}) \, \frac{1}{2\,\sqrt{y}}$$

Esta última relación será de interés cuando más adelante definamos la distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }^2$.