5.6 Variables aleatorias continuas

Si una variable discreta toma los valores x₁, ..., x_k, la proposición de la página afirma que las probabilidad de que al hacer un experimento, X tome uno de esos valores es 1, de modo que cada posible valor x_i contribuye con una cantidad f(x_i) al total:

$$\sum_{i=1}^k f(x_i) = \sum_{i=1}^k {{\cal P}}[X=x_i] = 1$$

Aun cuando la variable tomase un número infinito de valores, x₁, x₂, ..., no hay ningún problema en comprobar que cada x_i contribuye con una cantidad f(x_i) al total de modo que

$$\sum_{i=1}^{\infty} f(x_i) = \sum_{i=1}^{\infty} {{\cal P}}[X=x_i] = 1$$

Cuando la variable es continua, no tiene sentido hacer una suma de las probabilidades de cada uno de los términos en el sentido anterior, ya que el conjunto de valores que puede tomar la variable es no numerable. En este caso, lo que generaliza de modo natural el concepto de suma ($\sum$) es el de integral ($\int$). Por otro lado, para variables continuas no tiene interés hablar de la probabilidad de que $X=x \in I\!\!R$, ya que esta debe de valer siempre 0, para que la suma infinita no numerable de las probabilidades de todos los valores de la variable no sea infinita.

De este modo es necesario introducir un nuevo concepto que sustituya en v.a. continuas, al de función de probabilidad de una v.a. discreta. Este concepto es el de función de densidad de una v.a. continua, que se define como una función $f:I\!\!R\longrightarrow I\!\!R$ integrable, que verifica las dos propiedades siguientes:

 $${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f(x)\g... ...nt_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1 \end{array}\right. $ } } }$$
y que además verifica que dado a<b, se tiene que

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[a\leq X \leq b] = \int_{a}^b f(x) \, dx $ } } }$$

  

Figura: Función de densidad f. La probabilidad de un intervalo, es el área que existe entre la función y el eje de abscisas.

5.6.0.1 Observación

Por ser f una función integrable, la probabilidad de un punto es nula:

$${{\cal P}}[X=a]={{\cal P}}[a\leq X \leq a] = \int_{a}^a f(x) \, dx = 0$$

y por ello al calcular la probabilidad de un intervalo no afectara nada el que este sea abierto o cerrado por cualquiera de sus extremos, pues estos son puntos y por tanto de probabilidad nula:

$${{\cal P}}[a\leq X \leq b] = {{\cal P}}[a< X \leq b] ={{\cal P}}[a\leq X < b] = {{\cal P}}[a< X < b]$$

La función de distribución de la v.a. continua, F, se define de modo que dado $x\in I\!\!R$, F(x) es la probabilidad de que X sea menor o igual que x, es decir

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} F:I\!\!R&\lo... ... \displaystyle \int_{-\infty}^x f(t) \, dt \end{array}$ } } }$$

  

Figura: Función de distribución F, calculada a partir de la función de densidad f.

5.6.0.2 Observación

Dado un intervalo de la forma (a,b], tenemos que

$${{\cal P}}\left[X\in(a,b]\right] \stackrel{def}{\equiv} \int_... ...\int_{-\infty}^a f(x) \, dx \stackrel{def}{\equiv} F(b) - F(a)$$
Es decir, la cantidad F(b) - F(a) representa la masa de probabilidad extendida a lo largo de dicho intervalo. Si dividimos esta cantidad por la longitud del intervalo,

$$\frac{F(b) - F(a)}{b-a}$$

tenemos la masa media de probabilidad por unidad de longitud en (a,b], es decir, su densidad media de probabilidad. Si hacemos tender a hacia b, $a \rightarrow b$, la cantidad

$$\lim_{a \rightarrow b} \frac{F(b) - F(a)}{b-a} = F'(b) = f(b)$$

es la densidad de probabilidad del punto b (que como hemos mencionado no se ha de confundir con la probabilidad de b).

5.6.0.3 Proposición

Distribuciones continuas La función de distribución F, es no decreciente

$$x_1 < x_2 \Longrightarrow F(x_1)\leq F(x_2)$$

Además, es una función absolutamente continua que verifica:

$$F(-\infty) = \lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) =0$$

$$F(+\infty) = \lim_{x \rightarrow +\infty} F(x) =1$$

Demostración

Los sucesos

$$\left\{X\leq a\right\} \qquad \stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \qquad X \in (-\infty, a]$$

y

$$\left\{a<X\leq b\right\} \qquad \stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \qquad X \in (a, b]$$

son mutuamente exclusivos, siendo su unión el suceso $\left\{X\leq b\right\}$. Por tanto

$$F(b) = {{\cal P}}[X\leq b] = {{\cal P}}[X\leq a] + \underbrace{{{\cal P}}[a<X\leq b]}_{\geq 0} \geq {{\cal P}}[X\leq a] = F(a)$$

El resto es evidente pues por la relación (5.1)

$$F(+\infty) = {{\cal P}}[X\leq +\infty] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$$

y por otro lado

$$F(-\infty) = {{\cal P}}[X\leq -\infty] = {{\cal P}}[\emptyset] = 0$$