5.4 Variables aleatorias discretas

Dada una v.a. discreta $X:E \longrightarrow I\!\!N$, su función de probabilidad f, se define de modo que f(x_i) es la probabilidad de que X tome ese valor:

$$\begin{array}{rcl} f:I\!\!N&\longrightarrow& {[0,1]} \\ \\ ... ...ft[\left\{ e, \mbox{ t.q. } X(e)=x_i\right\}\right] \end{array}$$

Si x_i no es uno de los valores que puede tomar X, entonces f(x_i)=0. La representación gráfica de la función de probabilidad se realiza mediante un diagrama de barras análogo al de distribución de frecuencias relativas para variables discretas (figura 5.3). Por ejemplo, si retomamos el caso del lanzamiento de 3 monedas de forma que cada una de ellas tenga probabilidad 1/2 de dar como resultado cara o cruz, se tiene que (véase la figura 5.2):

$$f(3) = {{\cal P}}[X=3] = {{\cal P}}[\{{\cal C}{\cal C}{\cal C... ...= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

$$f(2) = {{\cal P}}[X=2] = {{\cal P}}[\{{\cal R}{\cal C}{\cal C... ...cal C}\}] = \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

$$f(1) = {{\cal P}}[X=3] = {{\cal P}}[\{{\cal R}{\cal R}{\cal C... ...cal R}\}] = \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

$$f(0) = {{\cal P}}[X=0] = {{\cal P}}[\{{\cal R}{\cal R}{\cal R... ...= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

  

Figura: Equivalencia entre las probabilidades calculadas directamente sobre el espacio muestral E de resultados del experimento aleatorio, y las calculadas sobre el subconjunto $\{0,1,2,3\}\subset I\!\!N\subset I\!\!R$ mediante la v.a. X.

5.4.0.1 Observación

Obsérvese que X está definido sobre el espacio muestral de sucesos E, mientras que f lo está sobre el espacio de números reales $I\!\!R$.

Las propiedades de la función de probabilidad de v.a. se deducen de forma inmediata de los axiomas de probabilidad:
 

Es evidente que si tenemos tres constantes a<b<c, los sucesos $A=\{a\leq X\leq b\}$ y $B=\{b< X\leq c\}$ son mutuamente exclusivos, es decir, $A \cap B=\emptyset$, luego ${{\cal P}}[A \cap B] = 0$. Por ello, si se define $C=\{a\leq X\leq c\}= A \cup B$, se tiene que

$$\begin{array}{c} {{\cal P}}[C] = {{\cal P}}[A]+{{\cal P}}[B] ... ...] ={{\cal P}}[a\leq X\leq b]+{{\cal P}}[b< X\leq c] \end{array}$$

Otro concepto importante es el de función de distribución de una variable aleatoria discreta, F, que se define de modo que si $x_i \in I\!\!R$, F(x_i) es igual a la probabilidad de que X tome un valor inferior o igual a x_i:

$$\begin{array}{rcl} F:I\!\!N&\longrightarrow& {[0,1]} \\ \\ ... ...left\{ e, \mbox{ t.q. } X(e)\leq x_i\right\}\right] \end{array}$$

Esta función se representa gráficamente del mismo modo que la distribución de frecuencias relativas acumuladas (figura 5.3). Volviendo al ejemplo de las tres monedas, se tiene que

$$F(0) = {{\cal P}}[X\leq 0] = {{\cal P}}[X=0] = f(0) = \frac{1}{8}$$

$$F(1) = {{\cal P}}[X\leq 1] = f(0) + f(1) = \frac{1}{8}+\frac{3}{8} =\frac{4}{8}$$

$$F(2) = {{\cal P}}[X\leq 2] = f(0) + f(1) +f(2) = \frac{1}{8}+\frac{3}{8} +\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$$

$$F(3) = {{\cal P}}[X\leq 3] = f(0) + f(1) +f(2)+f(3) = \frac{1}{8}+\frac{3}{8} +\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1$$

Hay que observar que a valores no admisibles por la variable les pueden corresponder valores de F no nulos. Por ejemplo,

$$F(-1) = {{\cal P}}[X \leq -1] ={{\cal P}}[\emptyset] = 0$$

  

Figura: Función de probabilidad a la izquierda, y función de distribución a la derecha de una v.a. discreta

Es sencillo comprobar que las siguientes propiedades de la función de distribución son ciertas:

5.4.0.2 Proposición (Distribuciones discretas)

La función de distribución F, es una función no decreciente, es decir,

$$x_1 < x_2 \Longrightarrow F(x_1)\leq F(x_2)$$

Además, es continua a la derecha

$$\lim_{x\rightarrow a^+} \,F(x) = F(a)$$

y

$$F(-\infty) = \lim_{x_i \rightarrow -\infty} F(x_i) =0$$

$$F(+\infty) = \lim_{x_i \rightarrow +\infty} F(x_i) =1$$