5.2 Introducción

Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral E) de un experimento aleatorio no son valores numéricos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, para observar el número de caras (${\cal C}$) y cruces (${\cal R}$) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio sería:

$$E= \left\{ {\cal C}{\cal C}{\cal C}, {\cal C}{\cal C}{\cal R}... ...R}, {\cal R}{\cal R}{\cal C}, {\cal R}{\cal R}{\cal R}\right\}$$

En estadística resulta más fácil utilizar valores numéricos en lugar de trabajar directamente con los elementos de un espacio muestral como el anterior. Así preferimos identificar los sucesos $\left\{{\cal C}{\cal R}{\cal R},{\cal R}{\cal C}{\cal R}, {\cal R}{\cal R}{\cal C}\right\}$ con el valor numérico 1 que representa el número de caras obtenidas al realizar el experimento. De este modo aparece el concepto de variable aleatoria unidimensional como el de toda función

$$\begin{eqnarray}\html{eqn0}X: E &\longrightarrow& I\!\!R \nonumber \\ e&\longmapsto&X(e)=x_e \nonumber \end{eqnarray}$$

que atribuye un único número real x_e, a cada suceso elemental e, del espacio muestral E^5.1.

Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se define la variable aleatoria^5.2

$$X \equiv \mbox{número de caras}$$

del siguiente modo:

$$X: E \longrightarrow I\!\!R$$

$$X({\cal C}{\cal C}{\cal C}) =3$$

$$X({\cal C}{\cal C}{\cal R}) = X({\cal C}{\cal R}{\cal C}) =X({\cal R}{\cal C}{\cal C}) =2$$

$$X({\cal R}{\cal R}{\cal C}) =X({\cal R}{\cal C}{\cal R}) =X({\cal C}{\cal R}{\cal R}) =1$$

$$X({\cal R}{\cal R}{\cal R}) =0$$

5.2.0.1 Observación

• La variable X no recibe el calificativo de aleatoria por el hecho de que atribuya de modo imprevisible un valor cualquiera a un elemento $e\in E$ ya que este valor está definido de forma precisa (determinística). Lo que es aleatorio en realidad, es que al hacer el experimento, no sabemos qué elemento de E puede ocurrir.

  =1.00mm
  
  

• La composición de una función real^5.3 con una variable es también variable aleatoria, pues está definida sobre Ey a cada elemento suyo le asocia un valor real.

  
  

  $$\left. \begin{array}{c} X:E \longrightarrow I\!\!R \\ \\ h:... ...rrow & I\!\!R \\ x&\longmapsto& h\left(X(e)\right) \end{array}$$
  
  

En función de los valores que tome la variable, esta puede ser clasificada en discreta o continua del siguiente modo:

v.a. discreta

es aquella que sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. Por ejemplo,

$$X:E \longrightarrow I\!\!N$$

v.a. continua

es la que puede tomar un número infinito no numerable de valores.

$$X: E \longrightarrow I\!\!R$$

5.2.0.2 Observación

Si sobre los elementos de E existe una distribución de probabilidad, esta se transmite a los valores que toma la variable X. Es decir, toda v.a. conserva la estructura probabilística del experimento aleatorio que describe, en el sentido de que si ${{\cal P}}$ es la función de probabilidad definida sobre el espacio muestral E, ésta induce otra función ${{\cal P}}^*$ definida sobre $I\!\!R$, de forma que conserva los valores de las probabilidades (figura 5.1):

$${{\cal P}}^*[X=x] = {{\cal P}}[\{e\in E\;:\;X(e)=x\}]$$

$${{\cal P}}^*[X\in (a,b)] = {{\cal P}}[\{e\in E\;:\;X(e)\in(a,b)\}]$$

  

Figura: Una v.a. transmite la estructura probabilística del espacio muestral a $I\!\!R$.

De ahora en adelante omitiremos el asterisco y no diferenciaremos entre las probabilidades calculadas sobre el espacio muestral del experimento aleatorio original, E, y las calculadas sobre $I\!\!R$.

Vamos a estudiar los conceptos más importantes relacionados con la distribución de probabilidad de una v.a., diferenciando entre los casos de v.a. discreta y v.a. continua.