4.14 Tests diagnósticos

Los tests diagnósticos son una aplicación del teorema de Bayes a la Medicina, y se basan en lo siguiente:

1.

Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad, que tiene una incidencia de la enfermedad en la población (probabilidad de que la enfermedad la padezca una persona elegida al azar) de ${{\cal P}}[E]$;

2.

Como ayuda al diagnóstico de la enfermedad, se le hace pasar una serie de pruebas (tests), que dan como resultado:

• Positivo, T⁺, si la evidencia a favor de que el paciente esté enfermo es alta en función de estas pruebas;
• Negativo, T^-, en caso contrario.

Previamente, sobre el test diagnóstico a utilizar, han debido ser estimadas las cantidades:

Sensibilidad:

Es la probabilidad de el test de positivo sobre una persona que sabemos que padece la enfermedad, ${{\cal P}}[{T^+}_{\mid E}]$.

Especificidad:

Es la probabilidad que el test de negativo sobre una persona que no la padece, ${{\cal P}}[{T^-}_{\mid \overline{E}}]$.

La sensibilidad y especificidad se denominan también respectivamente tasa de verdaderos positivos y tasa de verdaderos negativos. Estas cantidades son calculadas de modo aproximado, antes de utilizar el test diagnóstico, considerando grupos suficientemente numerosos de personas de las que sabemos si padecen la enfermedad o no, y estimando los porcentajes correspondientes. Por ejemplo se toman 100 personas sanas y 100 enfermas, y se observa que

	E	$\overline{E}$
T+	89	3
T-	11	97
	100	100

        

Tasa de verdaderos positivos:	89%
Tasa de falsos positivos:	3%
Tasa de verdaderos negativos:	97%
Tasa de falsos negativos:	11%

3.

teniendo en cuenta el resultado del test diagnóstico, se utiliza el teorema de Bayes para ver cual es, a la vista de los resultados obtenidos, la probabilidad de que realmente esté enfermo si le dio positivo (índice predictivo de verdaderos positivos),

$${{\cal P}}[{E}_{\mid T^+}] = \frac{{{\cal P}}[{T^+}_{\mid E}... ...}[{T^+}_{\mid \overline{E}}] \cdot {{\cal P}}[\overline{E}]},$$

o la de que esté sano si le dio negativo (índice predictivo de verdaderos negativos):

$${{\cal P}}[{\overline{E}}_{\mid T^-}] = \frac{{{\cal P}}[{T^... ...ne{E}] + {{\cal P}}[{T^-}_{\mid {E}}] \cdot {{\cal P}}[{E}]}$$

4.14.0.1 Ejemplo

Con el objeto de diagnosticar la colelietasis se usan los ultrasonidos. Tal técnica tiene una sensibilidad del 91% y una especificidad del 98%. En la población que nos ocupa, la probabilidad de colelietasis es de 0,2.

1.

Si a un individuo de tal población se le aplican los ultrasonidos y dan positivos, ¿cuál es la probabilidad de que sufra la colelietasis?

2.

Si el resultado fuese negativo, ¿cuál sería la probabilidad de que no tenga la enfermedad?

Solución:

Vamos a utilizar la siguiente notación:

• $E \equiv$ Padecer la enfermedad (colelietasis);
• $\overline{E} \equiv$ No padecer la enfermedad;
• $T^+ \equiv$ El resultado del test es positivo;
• $T^- \equiv$ El resultado del test es negativo;

Los datos de que disponemos son las probabilidades condicionadas

$$\mbox{ Sensibilidad o Tasa de Verdaderos Positivos } \equiv {{\cal P}}[{T^+}_{\mid E}] = 091,$$

$$\mbox{ Especificidad o Tasa de verdaderos Negativos } \equiv {{\cal P}}[{T^-}_{\mid \overline{E}}] = 0,98$$

y la incidencia de la enfermedad en la población

$${{\cal P}}[E] = 0,20$$

En el primer apartado se pide calcular el ``Índice Predictivo de Verdaderos Positivos'', ${{\cal P}}[{E}_{\mid T^+}]$, que por el teorema de Bayes es:

$${{\cal P}}[{E}_{\mid T^+}] = \frac{{{\cal P}}[{T^+}_{\mid E}... ...} = \frac{0,91\cdot 0,2}{0,91\cdot 0,2 + 0,02\cdot 0,8}=0,9192$$

En el segundo apartado, se ha de calcular el ``Índice Predictivo de Verdaderos Negativos'', ${{\cal P}}[{\overline{E}}_{\mid T^-}]$,

$${{\cal P}}[{\overline{E}}_{\mid T^-}] = \frac{{{\cal P}}[{T^... ...} = \frac{0,98\cdot 0,8}{0,98\cdot 0,8 + 0,09\cdot 0,2}=0,9775$$

Este problema puede ser resuelto de otro modo, utilizando tablas bidimensionales e identificando las probabilidades con las frecuencias relativas de la siguiente tabla

	E	$\overline{E}$
	$f_{11} = {{\cal P}}[T^+\cap E]=$	$f_{12} = {{\cal P}}[T^+\cap \overline{E}]=$	$f_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}} = {{\cal P}}[T^+]=$
			$\mbox{ (teor. prob. total)}$
T+	$={{\cal P}}[{T^+}_{\mid {E}}]\cdot {{\cal P}}[{E}]$	$={{\cal P}}[{T^+}_{\mid \overline{E}}]\cdot {{\cal P}}[\overline{E}]$	$={{\cal P}}[{T^+}_{\mid {E}}]\cdot {{\cal P}}[{E}] + {{\cal P}}[{T^+}_{\mid \overline{E}}] \cdot {{\cal P}}[\overline{E}]=$
	$= 0,91\times 0,2$	$= 0,02\times 0,8$	$= 0,91\times 0,2 + 0,02\times 0,8$
	$f_{21} = {{\cal P}}[T^-\cap E]=$	$f_{22} = {{\cal P}}[T^-\cap \overline{E}]=$	$f_{2{{\scriptscriptstyle \bullet}}} = {{\cal P}}[T^-]=$
			$\mbox{ (teor. prob. total)}$
T-	$={{\cal P}}[{T^-}_{\mid {E}}]\cdot {{\cal P}}[{E}]$	$={{\cal P}}[{T^-}_{\mid \overline{E}}]\cdot {{\cal P}}[\overline{E}]$	$={{\cal P}}[{T^-}_{\mid {E}}]\cdot {{\cal P}}[{E}] + {{\cal P}}[{T^-}_{\mid \overline{E}}]\cdot {{\cal P}}[\overline{E}]=$
	$= 0,09\times 0,2$	$= 0,98\times 0,8$	$= 0,09\times 0,2 + 0,98\times 0,8$
	$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}1}={{\cal P}}[E]$	$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}2}={{\cal P}}[\overline{E}]$	1

de modo que se puede calcular ${{\cal P}}[{E}_{\mid T^+}]$ como la probabilidad condicionada de E sobre la primera fila (T⁺):

$${{\cal P}}[{E}_{\mid T^+}] = \frac{f_{11}}{f_{1{{\scriptscrip... ... \frac{0,91\times 0,2}{0,91\times 0,2 + 0,02\times 0,8}=0,9192$$