4.12 Ciertos teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades

Hay algunos resultados importantes del cálculo de probabilidades que son conocidos bajo los nombres de teorema de la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. Veamos cuales son estos teoremas, pero previamente vamos a enunciar a modo de recopilación, una serie de resultados elementales cuya demostración se deja como ejercicio para el lector (algunos ya han sido demostrados anteriormente):

4.12.0.1 Proposición

Sean $A,B\subset E$ no necesariamente disjuntos. Se verifican entonces las siguientes propiedades:

1.

Probabilidad de la unión de sucesos:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[A{\cup}B] = {{\cal P}}[A] +{{\cal P}}[B] -{{\cal P}}[A{\cap}B] $ } } }$$

2.

Probabilidad de la intersección de sucesos:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[A{\cap}B] = \left\{... ... P}}[B]\cdot {{\cal P}}[A_{\mid B}] \end{array}\right. $ } } }$$

3.

Probabilidad del suceso contrario:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[\overline{A}] = 1-{{\cal P}}[A] $ } } }$$

4.

Probabilidad condicionada del suceso contrario:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[\overline{A}_{\mid B}] = 1-{{\cal P}}[A_{\mid B}] $ } } }$$

4.12.0.2 Ejemplo

En una universidad el 50% de los alumnos habla inglés, el 20% francés y el 5% los dos idiomas ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?

Solución:

Sea A el suceso hablar inglés: ${{\cal P}}[A]=0,5$.

Sea B el suceso hablar francés: ${{\cal P}}[B]=0,2$.

El suceso hablar francés e inglés es $A{\cap }B$: ${{\cal P}}[A{\cap}B] =0,05$.

Así:

$${{\cal P}}[A{\cup}B] = {{\cal P}}[A] + {{\cal P}}[B] - {{\cal P}}[A{\cap}B] = 0,5 + 0,2 - 0,05 = 0,65$$

4.12.0.3 Ejemplo

En una estación de esquí, para navidad-es, la experiencia indica que hay un tiempo soleado sólo el $15\%$ de los días. Por otro lado, se ha calculado que cuando un día es soleado, hay una probabilidad del 20% de que el día posterior también lo sea. Calcular la probabilidad de que, en navidades, un fin de semana completo sea soleado.

Solución: Llamemos S al suceso sábado soleado y D al suceso domingo soleado. La única manera en que un fin de semana completo sea soleado es que lo sea en primer lugar el sábado, y que el domingo posterior también. Es decir:

$${{\cal P}}[S{\cap}D] = {{\cal P}}[S]\cdot {{\cal P}}[D_{\mid S}] = 0,15\times 0,2 = 0,03$$

Luego sólo el $3\%$ de los fines de semana son soleados.

El primero de los teoremas que vamos a enunciar es una generalización de la probabilidad de la intersección de dos sucesos, a la de un número cualquiera pero finito de ellos:

4.12.0.4 Teorema (Probabilidad compuesta)

Sea $A_1,A_2,\dots,A_n\subset E$ una colección de sucesos aleatorios. Entonces:

$${{\cal P}}[A_1 A_2 \cdots A_n] = {{\cal P}}[A_1]\cdot {{\cal... ... A_1 A_2}]\cdots {{\cal P}}[{A_n}{\mid A_1 A_2\cdots A_{n-1}}]$$

Demostración

$$\begin{eqnarray}\html{eqn25}{{\cal P}}[A_1 A_2 \cdots A_n] &=& {{\cal P}}[ (A_1A... ...}]\cdots {{\cal P}}[{A_n}{\mid A_1 A_2\cdots A_{n-1}}] \nonumber \end{eqnarray}$$

Los teoremas que restan nos dicen como calcular las probabilidades de sucesos cuando tenemos que el suceso seguro está descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos su probabilidad. Para ello necesitamos introducir un nuevo concepto: Se dice que la colección $A_1,A_2,\dots,A_n\subset E$ es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las relaciones (véase la figura 4.5):

  

Figura: A₁,A₂,A₃,A₄ forman un sistema exhaustivo y excluyente se sucesos.

$$\bigcup_{i=1}^n \, A_i = E$$

$$A_i {\cap}A_j= \emptyset \qquad \forall\, i\neq j$$

4.12.0.5 Teorema (Probabilidad total)

Sea $A_1,A_2,\dots,A_n\subset E$ un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Entonces

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \forall \, B\subset E,\;\Righta... ...{i=1}^n \,{{\cal P}}[B_{\mid A_i}]\cdot{{\cal P}}[A_i] $ } } }$$

Demostración

Obsérvese la Figura 4.6. De ahí realizamos las siguientes operaciones:

  

Figura: Si A₁,A₂,A₃,A₄ forma un sistema exhaustivo y excluyente se sucesos, podemos calcular la probabilidad de B a partir de las cantidades ${{\cal P}}[B{\cap }A_i]$, o lo que es lo mismo, ${{\cal P}}[B_{\mid A_i}]\cdot {{\cal P}}[A_i]$

$$\begin{eqnarray}\html{eqn27}{{\cal P}}[B] &=& {{\cal P}}[B{\cap}E] \nonumber \\ ... ...{i=1}^n \,{{\cal P}}[B_{\mid A_i}]\cdot{{\cal P}}[A_i] \nonumber \end{eqnarray}$$

4.12.0.6 Ejemplo

Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:

• Primera urna, U₁: 3 bolas blancas y 2 rojas;

• Segunda urna, U₂: 4 bolas blancas y 2 rojas.

Se realiza el siguiente experimento aleatorio:

Se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una bola de la primera urna, y si sale cruz de la segunda.

¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?

Solución: La situación que tenemos puede ser esquematizada como

$3 \; B$

$2\; R$

U₁

${{\cal P}}[U_1] = 1/2$

${{\cal P}}[B_{\mid U_1}] = 3/5$

        

$4 \; B$

$2\; R$

U₂

${{\cal P}}[U_2] = 1/2$

${{\cal P}}[B_{\mid U_2}] = 4/6$

Como U₁ y U₂ forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de la probabilidad total nos permite afirmar entonces que

$${{\cal P}}[B]= {{\cal P}}[B_{\mid U_1}]\cdot {{\cal P}}[U_1] ... ...ot \frac{1}{2} + \frac{4}{6}\cdot\frac {1}{2} = \frac{19}{30}$$

4.12.0.7 Teorema (Bayes)

Sea $A_1,A_2,\dots,A_n\subset E$ un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Sea $B\subset E$ un suceso del que conocemos todas las cantidades ${{\cal P}}[B_{\mid A_i}]$, $i=1, \dots,n$, a las que denominamos verosimilitudes. entonces se verifica:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \forall\, j=1,\dots,n,\qquad {{... ...i=1}^n {{\cal P}}[B_{\mid A_i}]\cdot {{\cal P}}[A_i] } $ } } }$$

Demostración

Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en términos de la intersección, y del teorema de la probabilidad total:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn29}{{\cal P}}[{A_j}_{\mid B}] &=& \frac{{{\cal P}}[A_j ... ...i=1}^n {{\cal P}}[B_{\mid A_i}]\cdot {{\cal P}}[A_i] } \nonumber \end{eqnarray}$$

4.12.0.8 Ejemplo

Se tienen tres urnas. Cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:

• Primera urna, U₁: 3 bolas blancas y 2 rojas;
• Segunda urna, U₂: 4 bolas blancas y 2 rojas;
• Tercera urna, U₃: 3 bolas rojas.

Se realiza el siguiente experimento aleatorio:

Alguien elije al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola.

Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos urnas.

Solución:

Vamos a representar en un esquema los datos de que disponemos:

$3 \; B$

$2\; R$

U₁

${{\cal P}}[U_1] = 1/3$

${{\cal P}}[B_{\mid U_1}] = 3/5$

        

$4 \; B$

$2\; R$

U₂

${{\cal P}}[U_2] = 1/3$

${{\cal P}}[B_{\mid U_2}] = 4/6$

        

$0 \; B$

$3\; R$

U₃

${{\cal P}}[U_3] = 1/3$

${{\cal P}}[B_{\mid U_3}] = 0$

En este caso U₁, U₂ y U₃ forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir de una de esas tres urnas y de una sólo de ellas), por tanto es posible aplicar el teorema de Bayes:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn29}{{\cal P}}[{U_1}_{\mid B}] &=& \frac{ \displaystyle ... ...}{3}} \nonumber \\ & & \nonumber \\ &=& \frac{9}{19} \nonumber \end{eqnarray}$$

Con respecto a las demás urnas hacemos lo mismo:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn29}{{\cal P}}[{U_2}_{\mid B}] &=& \frac{ \displaystyle ... ...{3}} \nonumber \\ & & \nonumber \\ &=& \frac{10}{19} \nonumber \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray}\html{eqn29}{{\cal P}}[{U_3}_{\mid B}] &=& \frac{ \displaystyle ... ...dot \frac{1}{3}} \nonumber \\ & & \nonumber \\ &=& 0 \nonumber \end{eqnarray}$$

4.12.0.9 Observación

Obsérvese que en el ejemplo anterior, antes de realizar el experimento aleatorio de extraer una bola para ver su resultado, teníamos que la probabilidad de elegir una urna i cualquiera es ${{\cal P}}[U_i]$. Estas probabilidades se denominan probabilidades a priori. Sin embargo, después de realizar el experimento, y observar que el resultado del mismo ha sido la extracción de una bola blanca, las probabilidades de cada urna han cambiado a ${{\cal P}}[{U_i}_{\mid B}]$. Estas cantidades se denominan probabilidades a posteriori. Vamos a representar en una tabla la diferencia entre ambas:

a priori	a posteriori
${{\cal P}}[U_1] = 1/3$	${{\cal P}}[{U_1}_{\mid B}]=9/19$
${{\cal P}}[U_2] = 1/3$	${{\cal P}}[{U_2}_{\mid B}]=10/19$
${{\cal P}}[U_3] = 1/3$	${{\cal P}}[{U_3}_{\mid B}]=0$
1	1

$\;\; \Longrightarrow \;\;$

Las probabilidades a priori cambian de tal modo de las a posteriori que una vez observado el resultado del experimento aleatorio, se puede afirmar con certeza que no fue elegida la tercera urna.

Esta fenómeno tiene aplicaciones fundamentales en Ciencia: Cuando se tienen dos teorías científicas diferentes, T₁ y T₂, que pretenden explicar cierto fenómeno, y a las que asociamos unas probabilidades a priori de ser ciertas,

$${{\cal P}}[T_1]\;,\;{{\cal P}}[T_2]$$

podemos llevar a cabo la experimentación que se considere más conveniente, para una vez obtenido el cuerpo de evidencia, B, calcular como se modifican las probabilidades de verosimilitud de cada teoría mediante el teorema de Bayes:

$${{\cal P}}[{T_1}_{\mid B}]\;,\;{{\cal P}}[{T_2}_{\mid B}]$$

Así la experimentación puede hacer que una teoría sea descartada si ${{\cal P}}[{T_i}_{\mid B}]\approx 0$ o reforzada si ${{\cal P}}[{T_i}_{\mid B}]\approx 1$. Una aplicación básica de esta técnica la tenemos en Medicina para decidir si un paciente padece cierta enfermedad o no, en función de los resultados de un test diagnóstico.