4.10 Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

Sea $B\subset E$ un suceso aleatorio de probabilidad no nula, ${{\cal P}}[B]>0$. Para cualquier otro suceso $A\subset E$, llamamos probabilidad condicionada de A a B a la cantidad que representamos mediante ${{\cal P}}[A_{\mid B}]$ o bien ${{\cal P}}_B[A]$ y que se calcula como:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal P}}[A_{\mid B}] = \frac{{{\cal P}}[A{\cap}B]}{{{\cal P}}[B]} $ } } }$$

4.10.0.1 Ejemplo

Se lanza un dado al aire ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 4? Si sabemos que el resultado ha sido un número par, ¿se ha modificado esta probabilidad?

Solución:

El espacio muestral que corresponde a este experimento es

$$E=\{1,2,3,4,5,6\}$$

y se ha de calcular la probabilidad del suceso $A=\{4\}$. Si el dado no está trucado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir, y siguiendo la definición de probabilidad de Laplace,

$$\begin{eqnarray}\html{eqn15}{{\cal P}}[A]&=&\frac{\mbox{ casos favorables }}{\mb... ...de elementos en } \{1,2,3,4,5,6\} } \nonumber \\ &=& \frac{1}{6} \end{eqnarray}$$

Obsérvese que para calcular la probabilidad de A según la definición de Laplace hemos tenido que suponer previamente que todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de salir, es decir:

$${{\cal P}}[1]={{\cal P}}[2]={{\cal P}}[3]={{\cal P}}[4]={{\cal P}}[5]={{\cal P}}[6]$$

Por otro lado, si ha salido un número par, de nuevo por la definición de probabilidad de Laplace tendríamos

$$\begin{eqnarray}\html{eqn16}{{\cal P}}_{\mbox{par}}[4] &=&\frac{\mbox{ casos fav... ...elementos en }\{2,4,6\} } \nonumber \\ &=& \frac{1}{3} \nonumber \end{eqnarray}$$

Esta misma probabilidad se podría haber calculado siguiendo la definición de la probabilidad condicionada, ya que si escribimos

$$\begin{eqnarray}\html{eqn16}A=\{4\} \qquad&\Rightarrow&\qquad {{\cal P}}[A]=\fra... ...4\} \qquad&\Rightarrow&\qquad {{\cal P}}[A{\cap}B] = \frac{1}{6} \end{eqnarray}$$

y entonces

$${{\cal P}}_{\mbox{par}}[4] = {{\cal P}}_B[A] = {{\cal P}}[A_{... ...al P}}[A{\cap}B]}{{{\cal P}}[B]} =\frac{1/6}{1/2}= \frac{1}{3}$$

que por supuesto coincide con el mismo valor que calculamos usando la definición de probabilidad de Laplace.

4.10.0.2 Observación

Obsérvese que según la definición de probabilidad condicionada, se puede escribir la probabilidad de la intersección de dos sucesos de probabilidad no nula como

$${{\cal P}}[A{\cap}B] = \left\{ \begin{array}{l} {{\cal P}}[A... ... {{\cal P}}[B]\cdot {{\cal P}}[A_{\mid B}] \end{array}\right.$$

O sea, la probabilidad de la intersección de dos sucesos, es la probabilidad de uno cualquiera de ellos, multiplicada por la probabilidad del segundo sabiendo que ha ocurrido el primero.

Si entre dos sucesos no existe ninguna relación cabe esperar que la expresión ``sabiendo que'' no aporte ninguna información. De este modo introducimos el concepto de independencia de dos sucesos A y B como:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle A \mbox { es independiente de B... ...{\cal P}}[A{\cap}B] = {{\cal P}}[A]\cdot {{\cal P}}[B] $ } } }$$

Esta relación puede ser escrita de modo equivalente, cuando dos sucesos son de probabilidad no nula como

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle A \mbox { es independiente de B... ...cal P}}[B] = {{\cal P}}[B_{\mid A}] \end{array}\right. $ } } }$$