4.6 Operaciones básicas con sucesos aleatorios

Al ser los sucesos aleatorios nada más que subconjuntos de un conjunto E --espacio muestral--, podemos aplicarles las conocidas operaciones con conjuntos, como son la unión, intersección y diferencia:

   
4.6.0.0.0.1 Unión:

Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$, se denomina suceso unión de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que están en ambos simultáneamente), es decir

$$A{\cup}B =\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ ó } \; e\in B\}$$

Como ejemplo, tenemos que la unión de un suceso cualquiera con su complementario es el suceso seguro:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn7}A{\cup}\overline{A} &=&\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ ... ... A \;\mbox{ ó } \; e\notin {A}\} \nonumber \\ & =& E \nonumber \end{eqnarray}$$

Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, si $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{3,4\}$, el suceso unión de A y B es:

$$\left. \begin{array}{c} A=\{1,2,3\} \\ \\ B=\{3,4\} \... ...\right\} \quad \Longrightarrow \quad A {\cup}B = \{1,2,3,4\}$$

   
4.6.0.0.0.2 Intersección:

Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$, se denomina suceso intersección de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez, es decir,

$$A{\cap}B =\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ y además } \; e\in B\}$$

A veces por comodidad se omite el símbolo ${\cap}$ para denotar la intersección de conjuntos, sobre todo cuando el número de conjuntos que intervienen en la expresión es grande. En particular podremos usar la siguiente notación como equivalente a la intersección:

$$A_1{\cap}A_2{\cap}A_3{\cap}\cdots {\cap}A_{n-1}{\cap}A_n\stackrel{def}{\equiv} A_1A_2A_3\cdots A_{n-1}A_n$$

Un ejemplo de intersección es la de un suceso aleatorio cualquiera, $A\subset E$, con su complementario, $\overline{A}\subset E$, que es el suceso imposible:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn9}A{\cap}\overline{A} &=& \{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox... ...demás } \; e\notin {A}\} \nonumber \\ & =& \emptyset \nonumber \end{eqnarray}$$

Volviendo al ejemplo del dado,

$$\left. \begin{array}{c} A=\{1,2,3\} \\ \\ B=\{3,4\} \... ...rray} \right\} \quad \Longrightarrow \quad A {\cap}B = \{3\}$$

4.6.0.0.0.3 Diferencia:

Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$, se llama suceso diferencia de A y B, y se representa mediante $A{\setminus}B$, o bien A-B, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B:

$$A{\setminus}B \equiv A - B =\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ y además } \; e\notin B\} = A{\cap}\overline{B}$$

$$\left. \begin{array}{c} A=\{1,2,3\} \\ \\ B=\{3,4\} \... ...egin{array}{c}A - B = \{1,2\} \\ \\ B-A=\{4\} \end{array}$$

Obsérvese que el suceso contrario de un suceso A, puede escribirse como la diferencia del suceso seguro menos éste, o sea,

$$\begin{eqnarray}\html{eqn11}\overline{A}&=& \{e\in E\;:\; e\notin A\} \nonumber \\ &=& E {\setminus}A \nonumber \end{eqnarray}$$

  
4.6.0.0.0.4 Diferencia simétrica:

Si $A,B\subset E$, se denomina suceso diferencia simétrica de A y B, y se representa mediante $A\triangle B$, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y no a B, y los que están en By no en A:

$$A\triangle B = (A{\setminus}B){\cup}(B{\setminus}A) = (A{\cup}B){\setminus}(A{\cap}B)$$

Así:

$$\left. \begin{array}{c} A=\{1,2,3\} \\ \\ B=\{3,4\} \... ...Longrightarrow \quad A \triangle B = \{1,2,4\} = B\triangle A$$

  

Figura: Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$ se representa: en (a) $A {\cup }B$; en (b) $A{\cap }B$; en (c) A-B; en (d) $A\triangle B$.

Hay ciertas propiedades que relacionan la unión, intersección y suceso contrario, que son conocidas bajo el nombre de Leyes de Morgan:  

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \mbox{Leyes de Morgan} \quad \r... ...{A{\cap}B} = \overline{A}{\cup}\overline{B} \end{array}$ } } }$$