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4.6 Operaciones básicas con sucesos aleatorios

Al ser los sucesos aleatorios nada más que subconjuntos de un conjunto E --espacio muestral--, podemos aplicarles las conocidas operaciones con conjuntos, como son la unión, intersección y diferencia:

   
4.6.0.0.0.1 Unión:
Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$, se denomina suceso unión de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B (incluyendo los que están en ambos simultáneamente), es decir

\begin{displaymath}A{\cup}B =\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ ó } \; e\in B\}
\end{displaymath}

Como ejemplo, tenemos que la unión de un suceso cualquiera con su complementario es el suceso seguro:

\begin{eqnarray}\html{eqn7}A{\cup}\overline{A} &=&\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ ...
... A \;\mbox{ ó } \;
e\notin {A}\}
\nonumber \\
& =& E
\nonumber
\end{eqnarray}


Volviendo al ejemplo del lanzamiento de un dado, si $A=\{1,2,3\}$ y $B=\{3,4\}$, el suceso unión de A y B es:

\begin{displaymath}\left.
\begin{array}{c}
A=\{1,2,3\}
\\
\\
B=\{3,4\}
\...
...\right\}
\quad \Longrightarrow \quad
A {\cup}B = \{1,2,3,4\}
\end{displaymath}

   
4.6.0.0.0.2 Intersección:
Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$, se denomina suceso intersección de A y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y B a la vez, es decir,

\begin{displaymath}A{\cap}B =\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ y además } \; e\in B\}
\end{displaymath}

A veces por comodidad se omite el símbolo ${\cap}$ para denotar la intersección de conjuntos, sobre todo cuando el número de conjuntos que intervienen en la expresión es grande. En particular podremos usar la siguiente notación como equivalente a la intersección:


\begin{displaymath}A_1{\cap}A_2{\cap}A_3{\cap}\cdots
{\cap}A_{n-1}{\cap}A_n\stackrel{def}{\equiv}
A_1A_2A_3\cdots A_{n-1}A_n
\end{displaymath}

Un ejemplo de intersección es la de un suceso aleatorio cualquiera, $A\subset E$, con su complementario, $\overline{A}\subset E$, que es el suceso imposible:

\begin{eqnarray}\html{eqn9}A{\cap}\overline{A}
&=&
\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox...
...demás } \;
e\notin {A}\}
\nonumber \\
& =& \emptyset
\nonumber
\end{eqnarray}


Volviendo al ejemplo del dado,


\begin{displaymath}\left.
\begin{array}{c}
A=\{1,2,3\}
\\
\\
B=\{3,4\}
\...
...rray} \right\}
\quad \Longrightarrow \quad
A {\cap}B = \{3\}
\end{displaymath}

4.6.0.0.0.3 Diferencia:
Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$, se llama suceso diferencia de A y B, y se representa mediante $A{\setminus}B$, o bien A-B, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B:

\begin{displaymath}A{\setminus}B \equiv A - B =\{e\in E\;:\; e\in A \;\mbox{ y además } \; e\notin B\}
= A{\cap}\overline{B}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left.
\begin{array}{c}
A=\{1,2,3\}
\\
\\
B=\{3,4\}
\...
...egin{array}{c}A - B = \{1,2\}
\\
\\
B-A=\{4\}
\end{array}\end{displaymath}

Obsérvese que el suceso contrario de un suceso A, puede escribirse como la diferencia del suceso seguro menos éste, o sea,

\begin{eqnarray}\html{eqn11}\overline{A}&=& \{e\in E\;:\; e\notin A\}
\nonumber \\
&=& E {\setminus}A
\nonumber
\end{eqnarray}


  
4.6.0.0.0.4 Diferencia simétrica:
Si $A,B\subset E$, se denomina suceso diferencia simétrica de A y B, y se representa mediante $A\triangle B$, al suceso aleatorio formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A y no a B, y los que están en By no en A:

\begin{displaymath}A\triangle B = (A{\setminus}B){\cup}(B{\setminus}A) =
(A{\cup}B){\setminus}(A{\cap}B)
\end{displaymath}

Así:

\begin{displaymath}\left.
\begin{array}{c}
A=\{1,2,3\}
\\
\\
B=\{3,4\}
\...
...Longrightarrow \quad
A \triangle B = \{1,2,4\} = B\triangle A
\end{displaymath}


  
Figura: Dados dos sucesos aleatorios $A,B\subset E$ se representa: en (a) $A {\cup }B$; en (b) $A{\cap }B$; en (c) A-B; en (d) $A\triangle B$.
\includegraphics[angle=0, width=0.8\textwidth]{fig04-02.eps}

Hay ciertas propiedades que relacionan la unión, intersección y suceso contrario, que son conocidas bajo el nombre de Leyes de Morgan:  

\begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
\mbox{Leyes de Morgan} \quad \r...
...{A{\cap}B} = \overline{A}{\cup}\overline{B}
\end{array}$ } }
}
\end{displaymath}



 
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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo