3.14 Problemas

Ejercicio 3..1. Se realiza un estudio para establecer una ecuación mediante la cual se pueda utilizar la concentración de estrona en saliva(X) para predecir la concentración del esteroide en plasma libre (Y). Se extrajeron los siguientes datos de 14 varones sanos:

X	1,4	7,5	8,5	9	9	11	13	14	14,5	16	17	18	20	23
Y	30	25	31,5	27,5	39,5	38	43	49	55	48,5	51	64,5	63	68

1.

Estúdiese la posible relación lineal entre ambas variables.

2.

Obtener la ecuación que se menciona en el enunciado del problema.

3.

Determinar la variación de la concentración de estrona en plasma por unidad de estrona en saliva.

Ejercicio 3..2. Los investigadores están estudiando la correlación entre obesidad y la respuesta individual al dolor. La obesidad se mide como porcentaje sobre el peso ideal (X). La respuesta al dolor se mide utilizando el umbral de reflejo de flexión nociceptiva (Y), que es una medida de sensación de punzada. Se obtienen los siguientes datos:

X	89	90	75	30	51	75	62	45	90	20
Y	2	3	4	4,5	5,5	7	9	13	15	14

1.

¿Qué porcentaje de la varianza del peso es explicada mediante un modelo de regeseión lineal por la variación del umbral de reflejo?

2.

Estúdiese la posible relación lineal entre ambas variables, obteniendo su grado de ajuste.

3.

¿Qué porcentaje de sobrepeso podemos esperar para un umbral de reflejo de 10?

Ejercicio 3..3. Se lleva a cabo un estudio, por medio de detectores radioactivos, de la capacidad corporal para absorber hierro y plomo. Participan en el estudio 10 sujetos. A cada uno se le da una dosis oral idéntica de hierro y plomo. Después de 12 días se mide la cantidad de cada componente retenida en el sistema corporal y, a partir de ésta, se determina el porcentaje absorbido por el cuerpo. Se obtuvieron los siguientes datos:

Porcentaje de hierro $\equiv X$	17	22	35	43	80	85	91	92	96	100
Porcentaje de plomo $\equiv Y$	8	17	18	25	58	59	41	30	43	58

1.

Comprobar la idoneidad del modelo lineal de regresión.

2.

Obtener la recta de regresión, si el modelo lineal es adecuado.

3.

Predecir el porcentaje de hierro absorbido por un individuo cuyo sistema corporal absorbe el 15% del plomo ingerido.

Ejercicio 3..4. Para estudiar el efecto de las aguas residuales de las alcantarillas que afluyen a un lago, se toman medidas de la concentración de nitrato en el agua. Para monitorizar la variable se ha utilizado un antiguo método manual. Se idea un nuevo método automático. Si se pone de manifiesto una alta correlación positiva entre las medidas tomadas empleando los dos métodos, entonces se hará uso habitual del método automático. Los datos obtenidos son los siguientes:

Manual $\equiv X$	25	40	120	75	150	300	270	400	450	575
Automático $\equiv Y$	30	80	150	80	200	350	240	320	470	583

1.

Hallar el coeficiente de determinación para ambas variables.

2.

Comprobar la idoneidad del modelo lineal de regresión. Si el modelo es apropiado, hallar la recta de regresión de Y sobre X y utilizarla para predecir la lectura que se obtendría empleando la técnica automática con una muestra de agua cuya lectura manual es de 100.

3.

Para cada una de las observaciones, halle las predicciones que ofrece el modelo lineal de regresión para X en función de Y, e Y en función de X, es decir, $\hat{X}$ e $\hat{Y}$.

4.

Calcule los errores para cada una de dichas predicciones, es decir, las variables $X-\hat{X}$ e $Y-\hat{Y}$.

5.

¿Que relación hay entre las medias de X y $\hat{X}$? ¿Y entre las de Y e $\hat{Y}$?

6.

Calcule las medias de $X-\hat{X}$ e $Y-\hat{Y}$. ¿Era de esperar el valor obtenido?

7.

Calcule las varianzas de X, $\hat{X}$, Y, $\hat{Y}$, $X-\hat{X}$ e $Y-\hat{Y}$.

8.

¿Qué relación existe entre ${\cal S}_X^2$ y ${\cal S}_{\hat{X}}^2$ ¿Y entre ${{\cal S}_{Y}^{2}}$ y ${\cal S}_{\hat{Y}}^2$?

9.

¿Que relación ecuentra entre ${\cal S}_X^2$ y ${\cal S}_{{X-\hat{X}}}^2$? ¿También es válida para ${{\cal S}_{Y}^{2}}$ y ${\cal S}_{{Y-\hat{Y}}}^2$?

10.

Justifique a partir de todo lo anterior porqué se denomina r² como grado de bondad del ajuste lineal.

Ejercicio 3..5. Se ha medido el aclaramiento de creatinina en pacientes tratados con Captopril tras la suspensión del tratamiento con diálisis, resultando la siguiente tabla:

Días tras la diálisis $\equiv X$	1	5	10	15	20	25	35
Creatinina (mg/dl) $\equiv Y$	5,7	5,2	4,8	4,5	4,2	4	3,8

1.

Hállese la expresión de la ecuación lineal que mejor exprese la variación de la creatinina, en función de los dias transcurridos tras la diálisis, así como el grado de bondad de ajuste y la varianza residual.

2.

¿En qué porcentaje la variación de la creatinina es explicada por el tiempo transcurrido desde la diálisis?

3.

Si un individuo presenta 4'1 mg/dl de creatinina, ¿cuánto tiempo es de esperar que haya transcurrido desde la suspensión de la diálisis?

Ejercicio 3..6. En un ensayo clínico realizado tras el posible efecto hipotensor de un fármaco, se evalúa la tensión arterial diastólica (TAD) en condiciones basales (X), y tras 4 semanas de tratamiento (Y), en un total de 14 pacientes hipertensos. Se obtienen los siguiente valores de TAD:

X	95	100	102	104	100	95	95	98	102	96	100	96	110	99
Y	85	94	84	88	85	80	80	92	90	76	90	87	102	89

1.

¿Existe relación lineal entre la TAD basal y la que se observa tras el tratamiento?

2.

¿Cuál es el valor de TAD esperado tras el tratamiento, en un paciente que presentó una TAD basal de 95 mm de Hg?

Ejercicio 3..7. Se han realizado 9 tomas de presión intracraneal en animales de laboratorio, por un método estándar directo y por una nueva técnica experimental indirecta, obteniéndose los resultados siguientes en mm de Hg:

Método estándar $\equiv X$	9	12	28	72	30	38	76	26	52
Método experimental $\equiv Y$	6	10	27	67	25	35	75	27	53

1.

Hallar la ecuación lineal que exprese la relación existente entre las presiones intracraneales, determinadas por los dos métodos.

2.

¿Qué tanto por ciento de la variabilidad de Y es explicada por la regresión? Hállese el grado de dependencia entre las dos variables y la varianza residual del mismo.