3.10.4 Interpretación geométrica de r

Si los datos son observaciones que no están ordenadas en una tabla bidimensional, tendremos parejas de valores para cada sujeto o elemento

$$(x_i,y_i),\qquad i=1,\dots,n$$

la fórmula de la covarianza, en este caso, es

$${{\cal S}_{XY}}= \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) \cdot (y_i - \overline{y})$$

Podemos a escribir las observaciones en forma de vectores de la siguiente manera:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn12}\vec{X} &=& (x_1,x_2,\dots, x_n)\in I\!\!R^n \nonumb... ...erline{y},\overline{y},\dots,\overline{y})\in I\!\!R^n \nonumber \end{eqnarray}$$

Si denotamos $\vec{v}\cdot\vec{w}$ al producto escalar de los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$, es inmediato comprobar que en realidad las definiciones de varianza y covarianza tienen una idea geométrica muy simple: son productos escalares en los que intervienen los vectores $\vec{X}-\vec{\overline{x}}$ e $\vec{Y}-\vec{\overline{y}}$

$$\begin{eqnarray}\html{eqn12}{{\cal S}_{XY}}&=&\frac{1}{n} (\vec{X}-\vec{\overlin... ... \mid \vec{Y}-\vec{\overline{y}} \mid^2 = {\cal S}_{YY} \nonumber \end{eqnarray}$$

Con esta descripción geométrica de las varianzas y covarianzas, podemos poner de manifiesto la existencia de paralelismo entre las desviaciones de las variables X e Y, con respecto a sus centros de gravedad ya que

$$(\vec{X}-\vec{\overline{x}}) \cdot (\vec{Y}-\vec{\overline{y}... ... \cdot \mid \vec{Y}-\vec{\overline{y}} \mid \cdot \cos \theta,$$

donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\vec{X}-\vec{\overline{x}}$ e $\vec{Y}-\vec{\overline{y}}$ (véase la figura 3.5). Despejando:

$$\cos \theta = \frac{ (\vec{X}-\vec{\overline{x}}) \cdot (\vec... ...}} \mid} = \frac{{{\cal S}_{XY}}}{{\cal S}_X \cdot {\cal S}_Y}$$

  

Figura: Interpretación geométrica de r como el coseno del ángulo que forman los vectores de las desviaciones con respecto a sus respectivas medias de X y de Y.

Si los vectores $\vec{X}-\vec{\overline{x}}$ e $\vec{Y}-\vec{\overline{y}}$son totalmente paralelos entonces $\cos \theta = \pm 1$. En este caso existirá una constante de proporcionalidad m tal que:

$$(\vec{Y}-\vec{\overline{y}}) = m\cdot\vec{X}-\vec{\overline{x}}$$

Esta es la ecuación de una recta (véase la figura 3.6). Es decir:

$$\begin{array}{c} r=\pm 1 \\ \Updownarrow \\ \mbox{las desvi... ...ox{Las observaciones están perfectamente alineadas} \end{array}$$

  

Figura: $r=\pm 1$ es lo mismo que decir que las observaciones de ambas variables están perfectamente alineadas. El signo de r, es el mismo que el de ${{\cal S}_{XY}}$, por tanto nos indica el crecimiento o decrecimiento de la recta.

La magnitud que expresa el coseno del ángulo que forman los vectores $\vec{X}-\vec{\overline{x}}$ e $\vec{Y}-\vec{\overline{y}}$ tiene un papel muy destacado como veremos más adelante en regresión lineal. La hemos denominado anteriormente como coeficiente de correlación lineal de Pearson y se representa mediante la letra r:

$$r=\cos \theta = \frac{{{\cal S}_{XY}}}{{\cal S}_X \cdot {\cal S}_Y}$$

Son evidentes entonces las siguientes propiedades de r

• Cualesquiera que sean los valores (x_i,y_i), $i=1, \dots,n$, se tiene que $-1\leq r\leq 1$, ya que r es el coseno del ángulo que forman las variaciones con respecto a sus valores medios de las observaciones x_i e y_i. Si cuando r es calculado en un caso práctico se obtiene un valor no comprendido en ese rango, es signo evidente de que se ha cometido un error de cálculo, que por tanto ha de ser revisado.

• Si las desviaciones con respecto al valor central de las observaciones x_i, son proporcionales a las desviaciones de y_i con respecto a su valor central $\overline{y}$,

   $$\vec{Y}-\vec{\overline{y}} = m\cdot (\vec{X}-\vec{\overline{x... ...line{y}-m\,\,\overline{x})+m\cdot x_i\:\:\forall \,i=1,\dots,n$$
  

  entonces los vectores $\vec{X}-\vec{\overline{x}}$ e $\vec{Y}-\vec{\overline{y}}$ son paralelos y por tanto $r=\pm 1$. En este caso se puede decir de modo exacto que conocido X lo es también Y, (y recíprocamente), gracias a la relación (3.8).

• Por el contrario si no existe dicha relación, el ángulo que formen $\vec{X}-\vec{\overline{x}}$ e $\vec{Y}-\vec{\overline{y}}$ será mayor, siendo el caso extremo en que ambos sean perpendiculares (r=0). Cuando r=0 decimos que las variables X e Y son incorreladas.

Otra propiedad interesante de r es la siguiente:

3.10.4.1 Proposición

El coeficiente de correlación entre dos variables no se ve afectada por los cambios de unidades.

Demostración

Consideramos la variable bidimensional (X,Y) y sometemos a Y a un cambio de unidad $Z=a+b\,Y$. Entonces

$$\frac{{\cal S}_{XZ}}{{\cal S}_X \cdot {\cal S}_Z} = \frac{b... ...cal S}_Y}= \frac{{{\cal S}_{XY}}}{{\cal S}_X \cdot {\cal S}_Y}$$

Por tanto ambas variables XZ y XY tienen el mismo coeficiente de correlación.