3.10 Covarianza y coeficiente de correlación

Cuando analizábamos las variables unidimensionales considerábamos, entre otras medidas importantes, la media y la varianza. Ahora hemos visto que estas medidas también podemos considerarlas de forma individual para cada una de las componentes de la variable bidimensional.

Si observamos con atención los términos

$$\begin{eqnarray}\html{eqn8}{\cal S}_X^2&=& \sum_{i=1}^k f_{i {{\scriptscriptstyl... ...e{\overline{y}}) \cdot (y_j - \overline{\overline{y}}) \nonumber \end{eqnarray}$$

vemos que las cantidades $(x_i - \overline{\overline{x}})$ y $(y_j - \overline{\overline{y}})$ van al cuadrado y por tanto no pueden ser negativas.

La covarianza ${{\cal S}_{XY}}$, es una manera de generalizar la varianza y se define como:

$${{\cal S}_{XY}}= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^p f_{i j} (x_i - \overline{\overline{x}}) \cdot (y_j - \overline{\overline{y}})$$

Como se ve, la fórmula es muy parecida a las de las varianzas. Es sencillo comprobar que se verifica la siguiente expresión de ${{\cal S}_{XY}}$, más útil en la práctica:

  
3.10.0.1 Proposición

$${{\cal S}_{XY}}= \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^p f_{i j} x_i y_j \, - \overline{\overline{x}}\cdot \overline{\overline{y}}$$

Si las observaciones no están ordenadas en una tabla de doble entrada, entonces se tiene que

$${{\cal S}_{XY}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$$

o lo que es lo mismo

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal S}_{XY}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i y_i -\overline{x}\,\overline{y} $ } } }$$

3.10.0.2 Ejemplo

Se han clasificado 100 familias según el número de hijos varones (${\cal V}$) o hembras (${\cal H}$), en la tabla siguiente:

${\cal H}$	0	1	2	3	4
${\cal V}$
0	4	6	9	4	1
1	5	10	7	4	2
2	7	8	5	3	1
3	5	5	3	2	1
4	2	3	2	1	0

1.

Hallar las medias, varianzas y desviaciones típicas marginales.

2.

¿Qué número medio de hijas hay en aquellas familias que tienen 2 hijos?

3.

¿Qué número medio de hijos varones hay en aquellas familias que no tienen hijas?

4.

¿Qué número medio de hijos varones tienen aquellas familias que a lo sumo tienen 2 hijas?

5.

Hallar la covarianza

Solución:En primer lugar, definimos las variables X= número de hijos varones, e Y=número de hijas y construimos la tabla con las frecuencias marginales, y con otras cantidades que nos son útiles en el cálculo de medias y varianzas:

$Y_{={\cal H}}$	y1	y2	y3	y4	y5
$X_{={\cal V}}$	0	1	2	3	4	$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}} x_i$	$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}} x_i^2$	$$x_i \sum_{j=0}^4 n_{ij} y_j$$
$x_1\mapsto 0$	4	6	9	4	1	24	0	0	0
$x_2\mapsto 1$	5	10	7	4	2	28	28	28	44
$x_3\mapsto 2$	7	8	5	3	1	24	48	96	62
$x_4\mapsto 3$	5	5	3	2	1	16	48	144	63
$x_5\mapsto 4$	2	3	2	1	0	8	32	128	40
$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}$	23	32	26	14	5	100	156	396	209
$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}y_j$	0	32	52	42	20	146
$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}y_j^2$	0	32	104	126	80	342

de este modo, las medias marginales son

$$\begin{eqnarray}\html{eqn10}\overline{\overline{x}}&=& \frac{1}{n_{{{\scriptscri... ...ptscriptstyle \bullet}}j}y_{j} = \frac{146}{100}= 1,46 \nonumber \end{eqnarray}$$

Calculamos después las varianzas marginales

$$\begin{eqnarray}\html{eqn10}{{\cal S}_{X}^{2}}&=& \frac{1}{n_{{{\scriptscriptsty... ...ine{\overline{y}}^2 = \frac{342}{100}-1,46^2 = 1,2884 \nonumber \end{eqnarray}$$

que nos dan directamente las desviaciones típicas marginales,

$$\begin{eqnarray}\html{eqn10}{{\cal S}_X}&=& \sqrt{{{\cal S}_{X}^{2}}} = 1,2354 \... ...\\ {{\cal S}_Y}&=& \sqrt{{{\cal S}_{Y}^{2}}} = 1,1351 \nonumber \end{eqnarray}$$

El número medio de hijas en las familias con 2 hijos varones se obtiene calculando la distribución condicionada de $Y_{\mid X=2} = Y_{\mid x_3}$

$Y_{\mid X=2}$	n3j	n3j yj
$y_1 \mapsto 0$	7	0
$y_2 \mapsto 1$	8	8
$y_3 \mapsto 2$	5	10
$y_4 \mapsto 3$	3	9
$y_5 \mapsto 4$	1	4
	24	31

         $\Longrightarrow$ $\overline{Y_{\mid X=2}} \equiv \overline{Y_{\mid x_3}} \equiv \overline{y}_3 = ... ...ptscriptstyle \bullet}}}} \sum_{j=1}^5 n_{3 j }y_{j} = \frac{31}{24} = 1,2917$

Del mismo modo, el número medio de hijos varones de las familias sin hijas, se calcula con la distribución condicionada $X_{\mid Y=0} = X_{\mid y_1}$

$X_{\mid Y=0}$	ni1	ni1 xi
$x_1\mapsto 0$	4	0
$x_2\mapsto 1$	5	5
$x_3\mapsto 2$	7	14
$x_4\mapsto 3$	5	15
$x_5\mapsto 4$	2	8
	23	42

         $\Longrightarrow$ $\overline{X_{\mid Y=0}} \equiv \overline{X_{\mid y_1}} \equiv \overline{x}_1 = ... ...ptscriptstyle \bullet}}1}} \sum_{i=1}^5 n_{i 1 }x_{i} = \frac{42}{23} = 1,826$

El número medio de hijos varones en las familias que a lo sumo tienen dos hijas, se calcula usando las marginales de la tabla obtenida a partir de las columnas y₁, y₂ e y₃

$X_{\mid Y\leq 2}$	ni1	ni2	ni3	ni1+ni2+ni3	(ni1+ni2+ni3) xi
$x_1\mapsto 0$	4	6	9	19	19
$x_2\mapsto 1$	5	10	7	22	22
$x_3\mapsto 2$	7	8	5	20	40
$x_4\mapsto 3$	5	5	3	13	39
$x_5\mapsto 4$	2	3	2	7	28
				81	129

$\Longrightarrow$ $\overline{X_{\mid Y\leq 2}} = \frac{129}{81} = 1,5926$

La covarianza es:

$${{\cal S}_{XY}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{... ...ine{\overline{y}}= \frac{209}{100}- 1,56 \times 1,46 = -0,1876$$