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3.8 Medias y varianzas marginales y condicionadas

Asociados a las distribuciones marginales y condicionadas definidas en las secciones anteriores, podemos definir algunos estadísticos de tendencia central o dispersión, generalizando los que vimos en los capítulos dedicados al análisis de una variable . Las medias marginales de la variable X e Y se definen del siguiente modo:


\begin{displaymath}\overline{\overline{x}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bu...
..., x_i
=\sum_{i=1}^k f_{i {{\scriptscriptstyle \bullet}}}\, x_i
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\overline{\overline{y}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bu...
...\, y_j
=\sum_{j=1}^p f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}\, y_j
\end{displaymath}

Las varianzas marginales respectivas son


\begin{displaymath}{{\cal S}_{X}^{2}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}...
...scriptscriptstyle \bullet}}}\, (x_i-\overline{\overline{x}})^2
\end{displaymath}


\begin{displaymath}{{\cal S}_{Y}^{2}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}...
...criptscriptstyle \bullet}}j}\, (y_j-\overline{\overline{y}})^2
\end{displaymath}

Para cada una de las p variables condicionadas $X_{\mid y_j}$ definimos sus respectivas media condicionada y varianza condicionada mediante:


\begin{displaymath}X_{\mid y_j} \leadsto
\left\{
\begin{array}{l}
\overline{x}_...
...=1}^k n_{i j}\, x_i^2 \, - \overline{x}_j^2
\end{array}\right.
\end{displaymath}

y lo mismo hacemos para las k condicionadas $Y_{\mid x_i}$


\begin{displaymath}Y_{\mid x_i} \leadsto
\left\{
\begin{array}{l}
\overline{y}_...
...=1}^p n_{i j}\, y_j^2 \, - \overline{y}_i^2
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Es interesante observar que podemos considerar que las $n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$ observaciones de la variable Xhan sido agrupadas en p subgrupos, cada uno de ellos caracterizados por la propiedad de que Y=yj para algún $j=1,\dots,p$. Así la proposición de la página [*] nos permite afirmar que las medias de las marginales es la media ponderada de las condicionadas, y la proposición de la página 2.1, que la varianza de las marginales es la media ponderada de las varianzas condicionadas mas la varianza ponderada de las medias condicionadas (¡uff!). Vamos a enunciar de modo más preciso lo que acabamos de enunciar:

3.8.0.1 Proposición

Las medias y varianzas marginales de las variables X y Yse pueden escribir de modo equivalente como:


\begin{displaymath}\overline{\overline{x}}= \sum_{j=1}^p f_{{{\scriptscriptstyle...
...sum_{j=1}^p n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j} \overline{x}_j
\end{displaymath}


\begin{displaymath}{{\cal S}_{X}^{2}}= \sum_{j=1}^p f_{{{\scriptscriptstyle \bul...
...style \bullet}}j} (\overline{x}_j - \overline{\overline{x}})^2
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\overline{\overline{y}}= \sum_{i=1}^k f_{i{{\scriptscriptstyl...
...um_{i=1}^k n_{i {{\scriptscriptstyle \bullet}}} \overline{y}_i
\end{displaymath}


\begin{displaymath}{{\cal S}_{Y}^{2}}= \sum_{i=1}^k f_{i {{\scriptscriptstyle \b...
...tstyle \bullet}}} (\overline{y}_i - \overline{\overline{y}})^2
\end{displaymath}



 
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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo