3.8 Medias y varianzas marginales y condicionadas

Asociados a las distribuciones marginales y condicionadas definidas en las secciones anteriores, podemos definir algunos estadísticos de tendencia central o dispersión, generalizando los que vimos en los capítulos dedicados al análisis de una variable . Las medias marginales de la variable X e Y se definen del siguiente modo:

$$\overline{\overline{x}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bu... ..., x_i =\sum_{i=1}^k f_{i {{\scriptscriptstyle \bullet}}}\, x_i$$

$$\overline{\overline{y}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bu... ...\, y_j =\sum_{j=1}^p f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}\, y_j$$

Las varianzas marginales respectivas son

$${{\cal S}_{X}^{2}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}... ...scriptscriptstyle \bullet}}}\, (x_i-\overline{\overline{x}})^2$$

$${{\cal S}_{Y}^{2}}= \frac{1}{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}... ...criptscriptstyle \bullet}}j}\, (y_j-\overline{\overline{y}})^2$$

Para cada una de las p variables condicionadas $X_{\mid y_j}$ definimos sus respectivas media condicionada y varianza condicionada mediante:

$$X_{\mid y_j} \leadsto \left\{ \begin{array}{l} \overline{x}_... ...=1}^k n_{i j}\, x_i^2 \, - \overline{x}_j^2 \end{array}\right.$$

y lo mismo hacemos para las k condicionadas $Y_{\mid x_i}$

$$Y_{\mid x_i} \leadsto \left\{ \begin{array}{l} \overline{y}_... ...=1}^p n_{i j}\, y_j^2 \, - \overline{y}_i^2 \end{array}\right.$$

Es interesante observar que podemos considerar que las $n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$ observaciones de la variable Xhan sido agrupadas en p subgrupos, cada uno de ellos caracterizados por la propiedad de que Y=y_j para algún $j=1,\dots,p$. Así la proposición de la página nos permite afirmar que las medias de las marginales es la media ponderada de las condicionadas, y la proposición de la página 2.1, que la varianza de las marginales es la media ponderada de las varianzas condicionadas mas la varianza ponderada de las medias condicionadas (¡uff!). Vamos a enunciar de modo más preciso lo que acabamos de enunciar:

3.8.0.1 Proposición

Las medias y varianzas marginales de las variables X y Yse pueden escribir de modo equivalente como:

$$\overline{\overline{x}}= \sum_{j=1}^p f_{{{\scriptscriptstyle... ...sum_{j=1}^p n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j} \overline{x}_j$$

$${{\cal S}_{X}^{2}}= \sum_{j=1}^p f_{{{\scriptscriptstyle \bul... ...style \bullet}}j} (\overline{x}_j - \overline{\overline{x}})^2$$

$$\overline{\overline{y}}= \sum_{i=1}^k f_{i{{\scriptscriptstyl... ...um_{i=1}^k n_{i {{\scriptscriptstyle \bullet}}} \overline{y}_i$$

$${{\cal S}_{Y}^{2}}= \sum_{i=1}^k f_{i {{\scriptscriptstyle \b... ...tstyle \bullet}}} (\overline{y}_i - \overline{\overline{y}})^2$$