3.6.4 Independencia

Hemos visto que la dependencia funcional implica una estructura muy particular de la tabla bidimensional, en la que en todas las filas (o en todas las columnas) existe un único elemento no nulo. Existe un concepto que de algún modo es el opuesto a la dependencia funcional, que es el de independencia. Se puede expresar de muchas maneras el concepto de independencia, y va a implicar de nuevo una estructura muy particular de la tabla bidimensional, en el que todas las filas y todas las columnas van a ser proporcionales entre sí.

Para enunciar lo que es la independencia de dos variables vamos a basarnos en el siguiente razonamiento: Si la variable Y es independiente de X, lo lógico es que la distribución de frecuencias relativas condicionadas $Y_{\mid x_1}$sea la misma que la de $Y_{\mid x_2}$, ..., $Y_{\mid x_k}$. Esto se puede escribir diciendo que

 $$\forall j=1,\dots, p, \mbox{ se tiene que } f_j^1 = \dots f_j^i = \dots = f_j^k = f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}$$

Pues bien, diremos que la variable Y es independiente de Xsi la relación (3.3) es verificada. Hay otras formas equivalentes de enunciar la independencia: Cada una de las siguientes relaciones expresa por si sóla la condición de independencia:

3.6.4.1 Proposición (Independencia en tablas de doble entrada)

Cada una de las siguientes relaciones expresa por sí sóla la condición de independencia entre las variables Xe Y

$$\frac{n_{ij}}{n_{i {{\scriptscriptstyle \bullet}}}} = \frac{... ...{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}}$$

$$\frac{n_{1j}}{n_{1 {{\scriptscriptstyle \bullet}}}} = \frac{n... ...{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}}$$

 $${ \mbox{\fbox{$\displaystyle f_{ij} = f_{i {{\scriptscriptstyle \bullet}}} \cdot f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j} $ } } }$$

 $${ \mbox{\fbox{$\displaystyle n_{ij} = \frac{n_{i {{\scriptsc... ...tscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}} $ } } }$$

3.6.4.2 Observación

Obsérvese que la relación (3.4) (o bien la (3.5)) implica que la independencia es siempre recíproca, es decir, si X es independiente de Y, entonces Y es independiente de X.

3.6.4.3 Ejemplo

Si tenemos dos variables que son

$$X \equiv \mbox{número de claridifurcios melatonómicos}$$

$$Y \equiv \mbox{coeficiente de saturación de ciclopondrinas}$$

y están distribuidas en una tabla del modo:

Y	$1\in (0,2]$	$3 \in (2,4]$	$5\in (4,6]$
X
0	24	4	8	36
1	6	1	2	9
2	12	2	4	18
	42	7	14	63

podemos decir que ambas variables son independientes. Obsérvese la proporcionalidad existente entre todas las filas de la tabla (incluidas la marginal) (figura 3.2). Lo mismo ocurre entre las columnas.

  

Figura: Cuando las variables son independientes, las diferencias entre las filas (o columnas) pueden entenderse como cambios de escala.