3.4.2 Distribuciones marginales

A la proporción de elementos (tanto por uno) que presentan simultáneamente las modalidades x_i e y_j la llamamos frecuencia relativa f_ij

$$f_{ij} = \frac{n_{ij}}{n}$$

siendo las frecuencias relativas marginales las cantidades

$$f_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}} = \sum_{j=1}^p f_{ij} = \frac{n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}}{n}$$

$$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j} = \sum_{i=1}^k f_{ij} = \frac{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}}{n}$$

Ni que decir tiene que

$$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet... ...scriptstyle \bullet}}j} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^p f_{ij} = 1$$

3.4.2.1 Observación

Es importante observar que las tablas bidimensionales aportan más información que las vistas anteriormente. De hecho, si quisiésemos estudiar la variable X y la Ypor separado, nos hubiese bastado con utilizar:

Mod.	Marg. Abs.	Marg. Rel.
X	$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$f_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$
x1	$n_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$f_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}} = \frac{n_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}}}{n}$
...	...	...
xi	$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$f_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}} = \frac{n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}}{n}$
...	...	...
xk	$n_{k{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$f_{k{{\scriptscriptstyle \bullet}}} = \frac{n_{k{{\scriptscriptstyle \bullet}}}}{n}$
	n	1

        

Mod.	Marg. Abs.	Marg. Rel.
Y	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}i}$	$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}i}$
y1	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}1}$	$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}1} = \frac{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}1}}{n}$
...	...	...
yj	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}$	$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j} = \frac{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}}{n}$
...	...	...
yp	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}p}$	$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}p} = \frac{n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}p}}{n}$
	n	1

Toda esa información se puede resumir en una sóla tabla del siguiente modo:

Y

y1

y2

...

yj

...

yp

X

x1

n11

f11

n12

f12

...

n1j

f1j

...

n1p

f1p

$n_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

$f_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

x2

n21

f21

n22

f22

...

n2j

f2j

...

n2p

f2p

$n_{2{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

$f_{2{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

xi

ni1

fi1

ni2

fi2

...

nij

fij

...

nip

fip

$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

$f_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

...

...

...

...

...

...

...

... ...

...

...

...

...

xk

nk1

fk1

nk2

fk2

...

nkj

fkj

...

nkp

fkp

$n_{k{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

$f_{k{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}1}$

$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}1}$

$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}2}$

$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}2}$

...

$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}$

$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}$

...

$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}p}$

$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}p}$

$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

$f_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$