3.4 Tablas de doble entrada

Consideramos una población de n individuos, donde cada uno de ellos presenta dos caracteres que representamos mediante las variables X e Y. Representamos mediante

$$X {\leadsto}x_1, x_2, \dots, x_i, \dots, x_k$$

las k modalidades que presenta la variable X, y mediante

$$Y {\leadsto}y_1, y_2, \dots, y_j, \dots, y_p$$

las p modalidades de Y.

Con la intención de reunir en una sóla estructura toda la información disponible, creamos una tabla formada por $k\cdot p$ casillas, organizadas de forma que se tengan k filas y p columnas. La casilla denotada de forma general mediante el $\mbox{subíndice}_{ij}$ hará referencia a los elementos de la muestra que presentan simultáneamente las modalidades x_i e y_j.

Y	y1	y2	...	yj	...	yp
X
x1	n11	n12	...	n1j	...	n1p	$n_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$
x2	n21	n22	...	n2j	...	n2p	$n_{2{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$
...	...	...	...	...	...	...	...
xi	ni1	ni2	...	nij	...	nip	$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$
...	...	...	...	...	...	...	...
xk	nk1	nk2	...	nkj	...	nkp	$n_{k{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$
	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}1}$	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}2}$	...	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}$	...	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}p}$	$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$

De este modo, para $i=1,\dots,k$, $j=1,\dots,p$, se tiene que n_ij es el número de individuos o frecuencia absoluta, que presentan a la vez las modalidades x_i e y_j.

El número de individuos que presentan la modalidad x_i, es lo que llamamos frecuencia absoluta marginal de x_i y se representa como $n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$. Es evidente la igualdad

$$n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}} = n_{i1}+n_{i2}+\cdots+n_{ip}=\sum_{j=1}^p n_{ij}$$

Obsérvese que hemos escrito un símbolo `` ${{\scriptscriptstyle \bullet}}$'' en la ``parte de las jotas'' que simboliza que estamos considerando los elemento que presentan la modalidad x_i, independientemente de las modalidades que presente la variable Y. De forma análoga se define la frecuencia absoluta marginal de la modalidad y_j como

$$n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j} = n_{1j}+n_{2j}+\cdots+n_{kj} = \sum_{i=1}^k n_{ij}$$

Estas dos distribuciones de frecuencias $n_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$ para $i=1,\dots,k$, y $n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}j}$para $j=1,\dots,p$ reciben el nombre de distribuciones marginales de X e Y respectivamente.

El número total de elementos de la población (o de la muestra), n lo obtenemos de cualquiera de las siguientes formas, que son equivalentes:

$$n = n_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bu... ...riptscriptstyle \bullet}}j} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^p n_{ij}$$

Las distribuciones de frecuencias de las variables bidimensionales también pueden ser representadas gráficamente. Al igual que en el caso unidimensional existen diferentes tipos de representaciones gráficas, aunque estas resultan a ser más complicadas (figura 3.1).

  

Figura: Algunos de las representaciones gráficas habituales de distribuciones de frecuencias bidimensionales.