2.9.2 Estadísticos de asimetría

Para saber si una distribución de frecuencias es simétrica, hay que precisar con respecto a qué. Un buen candidato es la mediana, ya que para variables continuas, divide al histograma de frecuencias en dos partes de igual área. Podemos basarnos en ella para, de forma natural, decir que una distribución de frecuencias es simétrica si el lado derecho de la gráfica (a partir de la mediana) es la imagen por un espejo del lado izquierdo(figura 2.7).

  

Figura: Distribuciones de frecuencias simétricas y asimétricas

Cuando la variable es discreta, decimos que es simétrica, si lo es con respecto a la media.

2.9.2.1 Observación

• Se podría pensar que definir la simetría con usando la mediana para variables continuas y usando la media para variables discretas es una elección arbitraria. En realidad esto no es así, pues si una variable es continua, coinciden los ambos criterios de simetría (con respecto a la media y a la mediana). Es más, se tiene que media y mediana coinciden para distribuciones continuas simétricas. Por otro lado,
• en el caso de variables discretas, la distribución es simétrica si el lado derecho del diagrama se obtiene por imagen especular desde la media. En este caso coincide la media con la mediana si el número de observaciones es impar.
• Si la variable es continua simétrica y unimodal, coinciden la media, la mediana y la moda.

Dentro de los tipos de asimetría posible, vamos a destacar los dos fundamentales (figura 2.8):

Asimetría positiva:

Si las frecuencias más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media, mientras que en derecho hay frecuencias más pequeñas (cola).

Asimetría negativa:

Cuando la cola está en el lado izquierdo.

  

Figura: Asimetría positiva y asimetría negativa

Cuando realizamos un estudio descriptivo es altamente improbable que la distribución de frecuencias sea totalmente simétrica. En la práctica diremos que la distribución de frecuencias es simétrica si lo es de un modo aproximado. Por otro lado, aún observando cuidadosamente la gráfica, podemos no ver claro de qué lado están las frecuencias más altas. Conviene definir entonces unos estadísticos que ayuden a interpretar la asimetría, a los que llamaremos índices de asimetría, y que denotaremos mediante ${{\cal A}_s}$. Vamos a definir a continuación algunos de los índices de asimetría más usuales como son el índice basado en los tres cuartiles, el momento de tercer orden y la distancia entre la moda y la media o la media y la mediana.

2.9.2.2 Índice basado en los tres cuartiles (Yule-Bowley)

Si una distribución es simétrica, es claro que deben haber tantas observaciones entre la que deja por debajo de sí las tres cuartas partes de la distribución y la mediana, como entre la mediana y la que deja por debajo de sí un quarto de todas las observaciones. De forma abreviada esto es,

$${\cal Q}_3 -{\cal Q}_2 = {\cal Q}_2 - {\cal Q}_1$$

Una pista para saber si una distribución de frecuencias es asimétrica positiva la descubrimos observando la figura 2.9):

$${\cal Q}_3-{\cal Q}_2 > {\cal Q}_2 - {\cal Q}_1$$

Por analogía, si es asimétrica negativa, se tendrá

$${\cal Q}_3-{\cal Q}_2 < {\cal Q}_2 - {\cal Q}_1$$

Para quitar dimensionalidad al problema, utilizamos como índice de asimetría la cantidad:

 $${{\cal A}_s}= \frac{({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) -({\cal Q}_2 - {\cal Q}_1)}{{\cal Q}_3 - {\cal Q}_1}$$
Es claro que $$-1 \leq {{\cal A}_s}=\frac{({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) -({\cal Q}... ...} {({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) + ({\cal Q}_2 - {\cal Q}_1)} \leq 1$$
El número obtenido, ${{\cal A}_s}$, es invariante ante cambios de origen de referencia y de escala.

  

Figura: Uso de los cuartiles para medir la asimetría

2.9.2.3 Índice basado en el momento central de tercer orden

Sea X una variable cuantitativa y $p \in I\!\!N$. Llamamos momento de orden p a:

$$\mu_p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p$$

Se denomina momento central de orden p a la cantidad

$$m_p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^p$$

Si los datos están agrupados en una tabla, m_p admite otra expresión equivalente:

$$m_p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i \, (x_i-\overline{x})^p$$

2.9.2.4 Ejemplo

Por la proposición 2.1 (página ) se tiene que

m₁ = 0.

El momento de orden 2 es la varianza muestral:

$$m_2={{\cal S}^{2}}.$$

Es sencillo comprobar que los momentos de orden p impar, son siempre nulos en el caso de variables simétricas, ya que para cada i que esté a un lado de la media, con $(x_i-\overline{x}) <0$, le corresponde una observación j del otro lado de la media tal que $(x_j-\overline{x}) = -(x_i -\overline{x})$. Elevando cada una de esas cantidades a p impar, y sumando se tiene que

$$m_p = 0 \qquad \mbox{si la distribución es simétrica.}$$

Si la distribución fuese asimétrica positiva, las cantidades $(x_i-\overline{x})^p$, con $p\geq 3$ impar positivas estarían muy aumentadas al elevarse a p. Esta propiedad nos indica que un índice de asimetría posible consiste en tomar p=3y definir

 $${{\cal A}_s}= a_3 = \frac{m_3}{m_2 \, \sqrt{m_2}} = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^3}{{\cal S}^3}$$
que para datos organizados en una tabla sería

$$a_3 = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i \, (x_i-\overline{x})^3}{{\cal S}^3}$$

Apoyandonos en este índice, diremos que hay asimetría positiva si a₃>0, y que la asimetría es negativa si a₃<0.

2.9.2.5 Observación

Hemos dividido m₃ por el cubo de ${\cal S}$ para que a₃sea un número abstracto sin dimensiones, independiente de la variabilidad de la variable. Por otro lado, la cantidad ${{\cal A}_s}$ definida por la relación (2.17) no es la misma que la definida en (2.21). Simplemente las notamos ${{\cal A}_s}$ para simbolizar que es un índice de asimetría.

2.9.2.6 Otros índices de asimetría

Basándonos en que si una distribución de frecuencias es simétrica y unimodal, entonces la media, la mediana y la moda coinciden, podemos definir otras medidas de asimetría, como son:

 $${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal A}_s}= \frac{\overline{x}- {M_{oda}}}{{\cal S}} $ } } }$$

o bien,

 $${{\cal A}_s}= \frac{3(\overline{x}- {M_{ed}})}{{\cal S}}$$

Diremos que hay asimetría positiva si ${{\cal A}_s}>0$ y negativa si ${{\cal A}_s}<0$(véase la figura 2.10).

  

Figura: Diferencias importantes entre la media y la moda o la media y la mediana indican asimetría.

2.9.2.7 Ejemplo

Las edades de un grupo de personas se reflejan en la tabla siguiente:

Intervalos	ni
7 -- 9	4
9 -- 11	18
11 -- 12	14
12 -- 13	27
13 -- 14	42
14 -- 15	31
15 -- 17	20
17 -- 19	1

Determinar la variabilidad de la edad mediante los estadísticos varianza, desviación típica, coeficiente de variación y rango intercuartílico. Estudie la simetría de la variable.

Solución:

En primer lugar realizamos los cálculos necesarios a partir de la tabla de frecuencias:

Intervalos	ni	xi	Ni	xi ni	xi2 ni
7 -- 9	4	8	4	32	256
9 -- 11	18	10	22	180	1.800
11 -- 12	14	11,5	36	161	1.851,5
12 -- 13	27	12,5	63	337,5	4.218,75
13 -- 14	42	13,5	105	567	7.654,5
14 -- 15	31	14,5	136	449,5	6.517,75
15 -- 17	20	16	156	320	5.120
17 -- 19	1	18	157	18	324
	157			2.065	27.742,25

La media es $\overline{x}=2.065/157=13,15$ años. La varianza la calculamos a partir de la columna de la x_i² n_i como sigue:

$${\cal S}^2=27.742,25/157 - 13,15^2= 3,78 \mbox{ años}^2 \quad\Rightarrow\quad {\cal S}= \sqrt{3,78}=1,94 \mbox{ años}$$

El coeficiente de variación no posee unidades y es:

$${{\cal CV}}= \frac{1,94}{13,15}=0,15=15\% \mbox{ de variabilidad.}$$

En lo que concierne a la simetría podemos utilizar el coeficiente de asimetría de Yule-Bowley, para el cual es preciso el cálculo de los cuartiles:

$${\cal Q}_1= 12 + \frac{39,25 - 36}{27}\times 1 = 12,12$$

$${M_{ed}}={\cal Q}_2=13 + \frac{78,5-63}{42}\times 1 = 13,37$$

$${\cal Q}_3 = 14 + \frac{117,75 - 105}{31}\times 1 = 14,41$$

Lo que nos dice que aproximadamente en un rango de ${\cal Q}_3-{\cal Q}_1=2,29$ años se encuentra el $50\%$ central del total de observaciones^2.1 Además:

$$\displaystyle= {{\cal A}_s}= \frac{({\cal Q}_3-{\cal Q}_2) -(... ...}_1} = \frac{(14,41-13,37) -(13,37 -12,12)}{14,41-12,12}=-0,09$$

Este resultado nos indica que existe una ligera asimetría a la izquierda (negativa). Un resultado similar se obtiene si observamos (Figura 2.11) que la distribución de frecuencias es unimodal, siendo la moda:

$${M_{oda}}= = 13 + \frac{42-27}{ (42-27)+(42-31)}\times 1 = 13,57$$

  

Figura: La distribución de frecuencias de la edad presenta una ligera asimetría negativa.

en cuyo caso podemos usar como medida del sesgo:

$${{\cal A}_s}= \frac{\overline{x}- {M_{oda}}}{{\cal S}} = \frac{13,15-13,57}{1,94} =-0,21$$