2.7.6 Coeficiente de variación

Hemos visto que las medidas de centralización y dispersión nos dan información sobre una muestra. Nos podemos preguntar si tiene sentido usar estas magnitudes para comparar dos poblaciones. Por ejemplo, si nos piden comparar la dispersión de los pesos de las poblaciones de elefantes de dos circos diferentes, ${\cal S}$ nos dará información útil.

¿Pero qué ocurre si lo que comparamos es la altura de unos elefantes con respecto a su peso? Tanto la media como la desviación típica, $\overline {x}$ y ${\cal S}$, se expresan en las mismas unidades que la variable. Por ejemplo, en la variable altura podemos usar como unidad de longitud el metro y en la variable peso, el kilogramo. Comparar una desviación (con respecto a la media) medida en metros con otra en kilogramos no tiene ningún sentido.

El problema no deriva sólo de que una de las medidas sea de longitud y la otra sea de masa. El mismo problema se plantea si medimos cierta cantidad, por ejemplo la masa, de dos poblaciones, pero con distintas unidades. Este es el caso en que comparamos el peso en toneladas de una población de 100 elefantes con el correspondiente en miligramos de una población de 50 hormigas.

El problema no se resuelve tomando las mismas escalas para ambas poblaciones. Por ejemplo, se nos puede ocurrir medir a las hormigas con las mismas unidades que los elefantes (toneladas). Si la ingeriería genética no nos sorprende con alguna barbaridad, lo lógico es que la dispersión de la variable peso de las hormigas sea practicamente nula (¡Aunque haya algunas que sean 1.000 veces mayores que otras!)

En los dos primeros casos mencionados anteriormente, el problema viene de la dimensionalidad de las variables, y en el tercero de la diferencia enorme entre las medias de ambas poblaciones. El coeficiente de variación es lo que nos permite evitar estos problemas, pues elimina la dimensionalidad de las variables y tiene en cuenta la proporción existente entre medias y desviación típica. Se define del siguiente modo:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle {{\cal CV}}= \frac{{\cal S}_X}{\overline{x}} $ } } }$$

Basta dar una rápida mirada a la definición del coeficiente de variación, para ver que las siguientes consideraciones deben ser tenidas en cuenta:

• Sólo se debe calcular para variables con todos los valores positivos. Todo índice de variabilidad es esencialmente no negativo. Las observaciones pueden ser positivas o nulas, pero su variabilidad debe ser siempre positiva. De ahí que sólo debemos trabajar con variables positivas, para la que tenemos con seguridad que $\overline{x}>0$.
• No es invariante ante cambios de origen. Es decir, si a los resultados de una medida le sumamos una cantidad positiva, b>0, para tener Y=X+b, entonces ${{\cal CV}}_Y<{{\cal CV}}_X$, ya que la desviación típica no es sensible ante cambios de origen, pero si la media. Lo contario ocurre si restamos (b<0).

  
  

  $${{\cal CV}}_Y = \frac{{\cal S}_Y}{\overline{y}} = \frac{{\cal... ...overline{x}+b} < \frac{{\cal S}_X}{\overline{x}}={{\cal CV}}_X$$
  
  

• Es invariante a cambios de escala. Si multiplicamos X por una constante a, para obtener $Y=a \, X$, entonces

  
  

  $${{\cal CV}}_Y = \frac{{\cal S}_Y}{\overline{y}} = \frac{{\cal... ...al S}_{X}}{{a{\!\!\!\setminus}\,\overline{x}}} = {{\cal CV}}_X$$
  
  

2.7.6.1 Observación

Es importante destacar que los coefientes de variación sirven para comparar las variabilidades de dos conjuntos de valores (muestras o poblaciones), mientras que si deseamos comparar a dos individuos de cada uno de esos conjuntos, es necesario usar los valores tipificados.

2.7.6.2 Ejemplo

Dada la distribución de edades (medidas en años) en un colectivo de 100 personas, obtener:

1.

La variable tipificada Z.

2.

Valores de la media y varianza de Z.

3.

Coeficiente de variación de Z.

Horas trabajadas	Num. empleados
0 -- 4	47
4 -- 10	32
10 -- 20	17
20 -- 40	4
	100

Solución:

Para calcular la variable tipificada

$$Z=\frac{X-\overline{x}}{{\cal S}_X},$$

partimos de los datos del enunciado. Será necesario calcular en primer lugar la media y desvición típica de la variable original (X= años).

li-1 -- li	xi	ni	xi ni	xi2 ni
0 -- 4	2	47	94	188
4 -- 10	7	32	224	1.568
10 -- 20	15	17	255	3.825
20 -- 40	30	4	120	3.600
		n=100	693	9.181

$$\begin{eqnarray}\html{eqn25}\overline{x}&=& \frac{693}{100}=6,93 \mbox{ años} \n... ...mber \\ {\cal S}_X &=& \sqrt{43,78}= 6,6 \mbox{ años} \nonumber \end{eqnarray}$$

A partir de estos valores podremos calcular los valores tipificados para las marcas de clase de cada intervalo y construir su distribución de frecuencias:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn25}z_1 &=& \frac{2-6,93}{6,6} = -0,745 \nonumber \\ z_... ...,22 \nonumber \\ z_4 &=& \frac{30-6,93}{6,6} = 3,486 \nonumber \end{eqnarray}$$

zi	ni	zi ni	zi2 ni
-0,745	47	-35,015	26,086
0,011	32	0,352	0,004
1,220	17	20,720	25,303
3,486	4	13,944	48,609
	n=100	0,021	100,002

$$\begin{eqnarray}\html{eqn25}\overline{z} &=& \frac{0,021}{100}\approx 0 \nonumb... ...2 \approx 1 \nonumber \\ {\cal S}_X &=& \sqrt{1}= 1 \nonumber \end{eqnarray}$$

A pesar de que no se debe calcular el coeficiente de variación sobre variables que presenten valores negativos (y Z los presenta), lo calculamos con objeto de ilustrar el porqué:

$${{\cal CV}}= \frac{{\cal S}_Z}{\overline{z}} = \frac{1}{0}=\infty$$

Es decir, el coeficiente de variación no debe usarse nunca con variables tipificadas.