2.7.4 Varianza y desviación típica

Como forma de medir la dispersión de los datos hemos descartado:

• $\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})$, pues sabemos que esa suma vale 0, ya que las desviaciones con respecto a la media se compensan al haber términos en esa suma que son de signos distintos.
• Para tener el mismo signo al sumar las desviaciones con respecto a la media podemos realizar la suma con valores absolutos. Esto nos lleva a la D_m, pero como hemos mencionado, tiene poco interés por las dificultades que presenta.

Si las desviaciones con respecto a la media las consideramos al cuadrado, $(x_i-\overline{x})^2$, de nuevo obtenemos que todos los sumandos tienen el mismo signo (positivo). Esta es además la forma de medir la dispersión de los datos de forma que sus propiedades matemáticas son más fáciles de utilizar. Vamos a definir entonces dos estadísticos que serán fundamentales en el resto del curso: La varianza y la desviación típica.

La varianza, ${{\cal S}^{2}}$, se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmética, es decir $$\mbox{\fbox{$ \displaystyle {{\cal S}^{2}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 $ } }$$
Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establcidas en los capítulos anteriores, la varianza se puede escibir como $$\displaystyle {{\cal S}^{2}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k (x_i - \overline{x})^2 \, n_i$$
Una fórmula equivalente para el cálculo de la varianza está basada en lo siguiente:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn14}{{\cal S}^{2}}&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \o... ...}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \overline{x}^2 \nonumber \end{eqnarray}$$

Con lo cual se tiene

 $$\mbox{\fbox{$ \displaystyle {{\cal S}^{2}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \overline{x}^2 $ } }$$

Si los datos están agrupados en tablas, es evidente que

$${{\cal S}^{2}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k x_i^2 \, n_i - \overline{x}^2$$

La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observaciones se miden en metros, la varianza lo hace en $\mbox{metros}^2$). Si queremos que la medida de dispersión sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastará con tomar su raíz cuadrada. Por ello se define la desviación típica, ${\cal S}$, como

$${\cal S}= \sqrt{{{\cal S}^{2}}}$$

2.7.4.1 Ejemplo

Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Solución: Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media:

$$\overline{x}= (3+3+4+4+5)/5 = 3,8\mbox { metros}$$

La varianza es:

$${{\cal S}^{2}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 - \overline{x}... ... + 3^2 + 4^2+ 4^2+ 5^2\right) - 3,8^2 = 0,56 \mbox{ metros}^2$$

siendo la desviación típica su raíz cuadrada:

$${\cal S}=\sqrt{{{\cal S}^{2}}}= \sqrt{0,56} = 0,748 \mbox{ metros}$$

Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviación típica) son importantes a la hora de hacer un cambio de origen y escala a una variable. En primer lugar, la varianza (resp. Desviación típica) no se ve afectada si al conjunto de valores de la variable se le añade una constante. Si además cada observación es multiplicada por otra constante, en este caso la varianza cambia en relación al cuadrado de la constante (resp. La desviación típica cambia en relación al valor absoluto de la constante). Esto queda precisado en la siguiente proposicion:

  
2.7.4.2 Proposición

Si $Y=a \, X+b$ entonces ${{\cal S}^{2}}_Y = a^2 \, {{\cal S}^{2}}_X$

Demostración

Para cada observación x_i de X, $i=1, \dots,n$, tenemos una observación de Y que es por definición $y_i = a\,x_i + b$. Por la proposición 2.1, se tiene que $\overline{y}=a\,\overline{x}+b$. Por tanto, la varianza de Y es

$$\begin{eqnarray}\html{eqn16}{{\cal S}^{2}}_Y &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i -... ...2\, (x_i-\overline{x})^2 \nonumber \\ &=& a^2\,{{\cal S}^{2}}_X \end{eqnarray}$$

2.7.4.3 Observación

Las consecuencias del anterior resultado eran de esperar: Si los resultados de una medida son trasladados una cantidad b, la dispersión de los mismos no aumenta. Si estos mismos datos se multiplican por una cantidad a <1, el resultado tenderá a concentrarse alrededor de su media (menor varianza). Si por el contrario a>1 habrá mayor dispersión.

Otra propiedad fundamental de la varianza es la siguiente:

  
2.7.4.4 Proposición

Dados r grupos, cada uno de ellos formado por n_i observaciones de media $\overline{x}_i$ y de varianza ${{\cal S}_{i}^{2}}$. Entonces la varianza, ${{\cal S}^{2}}$, del conjunto de todas las $n=n_1+\dots+n_r$ observaciones vale

$${{\cal S}^{2}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^r n_i \, {{\cal S}_{i}... ...\frac{1}{n} \sum_{i=1}^r n_i (\overline{x}_i - \overline{x})^2$$

Demostración

Dicho de otro modo, pretendemos demostrar que la varianza total es igual a la media de las varianzas más la varianza de las medias. Comenzamos denotando mediante x_ij la observación j-ésima en el i-ésimo grupo, donde $i=1,\dots,r$ y $j=1,\dots, n_i$. Entonces

$$\begin{eqnarray}\html{eqn19}{{\cal S}^{2}}&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^r \sum_{j=1... ...{1}{n} \sum_{i=1}^r (\overline{x}_i - \overline{x})^2 \nonumber \end{eqnarray}$$

2.7.4.5 Observación

Además de las propiedades que hemos demostrado sobre la varianza (y por tanto sobre la desviación típica), será conveniente tener siempre en mente otras que enunciamos a continuación:

• Ambas son sensibles a la variación de cada una de las puntuaciones, es decir, si una puntuación cambia, cambia con ella la varianza. La razón es que si miramos su definición, la varianza es función de cada una de las puntuaciones.

• Si se calculan a traves de los datos agrupados en una tabla, dependen de los intervalos elegidos. Es decir, cometemos cierto error en el cálculo de la varianza cuando los datos han sido resumidos en una tabla estadística mediante intervalos, en lugar de haber sido calculados directamente como datos no agrupados. Este error no será importante si la elección del número de intervalos, amplitud y límites de los mismos ha sido adecuada.

• La desviación típica tiene la propiedad de que en el intervalo

  
  

  $$(\overline{x}-2\,{\cal S},\overline{x}+2\,{\cal S}) \stackrel{\rm def}{\sim} \overline{x}\pm 2\,{\cal S}$$
  
  

  se encuentra, al menos, el 75% de las observaciones (vease más adelante el teorema de Thebycheff, página ). Incluso si tenemos muchos datos y estos provienen de una distribución normal (se definirá este concepto más adelante), podremos llegar al $95\%$.

• No es recomendable el uso de ellas, cuando tampoco lo sea el de la media como medida de tendencia central.

2.7.4.6 Método abreviado para el cálculo de la varianza

La proposición de la página puede ser utilizada para simplificar cálculos al igual que vimos en el ejemplo 2.1. Si una variable X toma unos valores para los cuales las operaciones de cálculo de media y varianza son tediosas, podemos realizar los cálculos sobre una variable Z definida como

$$Z= \frac{X-x_0}{a}$$

Una vez que han sido calculadas $\overline{z}$ y ${\cal S}_Z^2$, obtenemos $\overline {x}$ y ${\cal S}_X^2$ teniendo en cuenta que:

$$X = a\,Z + x_0 \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \over... ...0 \\ \\ {\cal S}_X^2 = a^2\, {\cal S}_Z^2 \end{array}\right.$$

   
2.7.4.7 Grados de libertad

Los grados de libertad de un estadístico calculado sobre n datos se refieren al número de cantidades independientes que se necesitan en su cálculo, menos el número de restricciones que ligan a las observaciones y el estadístico. Es decir, normalmente n-1.

Ilustremoslo con un ejemplo. Consideramos una serie de valores de una variable,

$$x_i \leadsto 2,5,7,9,12$$

que han sido tomados de forma independiente.

Su media es $\overline{x}=7$ y se ha calculado a partir de las n=5observaciones independientes x_i, que están ligadas a la media por la relación:

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$$

Luego el número de grados de libertad de la media es n-1=4.

Si calculamos a continuación la varianza, se han de sumar n cantidades

$$\frac{(x_i-\overline{x})^2}{n}$$

Sin embargo esas cantidades no son totalmente independientes, pues están ligadas por una restricción:

$$\sum_{i=1}^n (x_i- \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)/n ) = 0$$

El número de grados de libertad del estadístico es el número de observaciones de la variable menos el número de restricciones que verifican, así que en este caso, los grados de libertad de la varianza sobre los n=5 datos son también n-1 =4.

Un principio general de la teoría matemática nos dice que si pretendemos calcular de modo aproximado la varianza de una población a partir de la varianza de una muestra suya, se tiene que el error cometido es generalmente más pequeño, si en vez de considerar como estimación de la varianza de la población, a la varianza muestral

$${{\cal S}^{2}}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$$

consideramos lo que se denomina cuasivarianza muestral, $\widehat{\cal S}^2$ que se calcula como la anterior, pero cambiando el denominador por el número de grados de libertad, n-1:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \widehat{\cal S}^2 = \frac{1}{n... ... - \overline{x})^2 = \frac {n \, {{\cal S}^{2}}}{n-1} $ } } }$$

Sobre este punto incideremos más adelante, ya que es fundamental en estadística inferencial.

2.7.4.8 Tipificación

Se conoce por tipificación al proceso de restar la media y dividir por su desviación típica a una variable X. De este modo se obtiene una nueva variable

$$% { \mbox{\fbox{$\displaystyle Z=\frac{X-\overline{x}}{{\cal S}} $ } } }$$
de media $\overline{z}=0$ y desviación típica ${\cal S}_Z=1$, que denominamos variable tipificada.

Esta nueva variable carece de unidades y permite hacer comparables dos medidas que en un principio no lo son, por aludir a conceptos diferentes. Así por ejemplo nos podemos preguntar si un elefante es más grueso que una hormiga determinada, cada uno en relación a su población. También es aplicable al caso en que se quieran comparar individuos semejantes de poblaciones diferentes. Por ejemplo si deseamos comparar el nivel académico de dos estudiantes de diferentes Universidades para la concesión de una beca de estudios, en principio sería injusto concederla directamente al que posea una nota media más elevada, ya que la dificultad para conseguir una buena calificación puede ser mucho mayor en un centro que en el otro, lo que limita las posibilidades de uno de los estudiante y favorece al otro. En este caso, lo más correcto es comparar las calificaciones de ambos estudiantes, pero tipificadas cada una de ellas por las medias y desviaciones típicas respectivas de las notas de los alumnos de cada Universidad.