2.3.8 Relación entre media, mediana y moda

En el caso de distribuciones unimodales, la mediana está con frecuencia comprendida entre la media y la moda (incluso más cerca de la media).

En distribuciones que presentan cierta inclinación, es más aconsejable el uso de la mediana. Sin embargo en estudios relacionados con propósitos estadísticos y de inferencia suele ser más apta la media.

Veamos un ejemplo de cálculo de estas tres magnitudes.

2.3.8.1 Ejemplo

Consideramos una tabla estadística relativa a una variable continua, de la que nos dan los intervalos, las marcas de clase c_i, y las frecuencias absolutas, n_i.

Intervalos	ci	ni
0 -- 2	1	2
2 -- 4	3	1
4 -- 6	5	4
6 -- 8	7	3
8 - 10	9	2

Para calcular la media podemos añadir una columna con las cantidades $n_i\, c_i$. La suma de los términos de esa columna dividida por n=12 es la media:

Intervalos	ci	ni	Ni	$n_i\, c_i$
0 -- 2	1	2	2	2
2 -- 4	3	1	3	3
4 -- 6	5	4	7	20
6 -- 8	7	3	10	21
8 - 10	9	2	12	18
	12		64

$$\overline{x}= \frac{64}{12} = 5,\widehat{3}$$

La mediana es el valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de las n observaciones, es decir 6. Construimos la tabla de las frecuencias absolutas acumuladas, N_i, y vemos que eso ocurre en la modalidad tercera, es decir,

$$\begin{eqnarray}\html{eqn5}i&=&3 \qquad \mbox{ Observación} \nonumber \\ (l_{i-... ... \frac{12}{2} - 3}{4} \cdot 2 = 5,5 \in (l_{i-1}, l_i] \nonumber \end{eqnarray}$$

Para el cálculo de la , lo primero es encontrar los intervalos modales, buscando los máximos relativos en la columna de las frecuencias absolutas, n_i. Vemos que hay dos modas, correspondientes a las modalidades i=1, i=3. En el primer intervalo modal, (l₀,₁]=(0,2], la moda se calcula como

$${M_{oda}}= l_{i-1} + \frac{n_{i} - n_{i-1}}{(n_{i} - n_{i-1})... ... a_i = 0 + \frac{2 - 0}{(2 - 0)+(2 - 1)} \, 2 = 1,\widehat{3}$$

El segundo intervalo modal es (l₂,l₃]=(4;6], siendo la moda el punto perteneciente al mismo que se obtiene como:

$${M_{oda}}= l_{i-1} + \frac{n_{i} - n_{i-1}}{(n_{i} - n_{i-1})... ...{i+1})} \, a_i = 4 + \frac{4 - 1}{(4 - 1)+(4 - 3)} \, 2 = 5,5$$

En este caso, como se ve en la figura 2.5, la moda no toma un valor único, sino el conjunto

$${M_{oda}}= \{1,\widehat{3} \, ; \, 5,5\}$$

  

Figura: Diagramas diferencial e integral con cálculo geométrico de la moda y de la mediana de la variable.