2.3.4 La mediana

Consideramos una variable discreta X cuyas observaciones en una tabla estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana, M_edal primer valor de la variable que deja por debajo de sí al $50\%$ de las observaciones. Por tanto, si n es el número de observaciones, la mediana corresponderá a la observación [n/2]+1, donde representamos por $[\,\cdot\,]$ la parte entera de un número.

  

Figura: Cálculo geométrico de la mediana

En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más (pero no demasiado): Sea (l_i-1,l_i] el intervalo donde hemos encontrado que por debajo están el $50\%$ de las observaciones. Entonces se obtiene la mediana a partir de las frecuencias absolutas acumuladas, mediante interpolación lineal (teorema de Thales) como sigue (figura 2.2):

 $$\begin{eqnarray}\html{eqn2}\nonumber \frac{CC'}{AC}=\frac{BB'}{AB}&\Longrightarr... ...frac{ \displaystyle \frac{n}{2} - N_{i-1}}{n_i} \cdot a_i$ } } } \end{eqnarray}$$

2.3.4.1 Observación

La relación (2.2) corresponde a definir para cada posible observación, $x \in (l_{j-1},l_j]$, su frecuencia relativa acumulada, F(x), por interpolación lineal entre los valores F(l_j-1) = F_j-1 y F(l_j) = F_j de forma que

$$F(x) = F(l_{j-1}) + \frac{ F(l_j) - F(l_{j-1})}{a_j} \, \left(x-l_{j-1}\right)$$

De este modo, M_ed es el punto donde $F({M_{ed}})=\frac{1}{2}$. Esto equivale a decir que la mediana divide al histograma en dos partes de áreas iguales a $\frac{1}{2}$.

2.3.4.2 Observación

Entre las propiedades de la mediana, vamos a destacar las siguientes:

• Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas.
• Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla.
• A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos (ej. La mediana de una variable número de hijos toma siempre valores enteros).
• Si una población está formada por 2 subpoblaciones de medianas M_ed1 y M_ed2, sólo se puede afirmar que la mediana, M_ed, de la población está comprendida entre M_ed1 y M_ed2

  
  

  $${M_{ed}}_1 \leq {M_{ed}}\leq {M_{ed}}_2$$
  
  

• El mayor defecto de la mediana es que tiene unas propiedades matemáticas complicadas, lo que hace que sea muy difícil de utilizar en inferencia estadística.

• Es función de los intervalos escogidos.

• Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el superior no tenga límites.

• La suma de las diferencias de los valores absolutos de n puntuaciones respecto a su mediana es menor o igual que cualquier otro valor. Este es el equivalente al teorema de König (proposición 2.1) con respecto a la media, pero donde se considera como medida de dispersión a:

  
  

  $$\sum_{i=1}^n \mid x_i-{M_{ed}}\mid$$
  
  

2.3.4.3 Ejemplo

Sea X una variable discreta que ha presentado sobre una muestra las modalidades

$$X \leadsto 2,5,7,9,12 \Longrightarrow \overline{x}=7, \qquad {M_{ed}}= 7$$

Si cambiamos la última observación por otra anormalmente grande, esto no afecta a la mediana, pero si a la media:

$$X \leadsto 2,5,7,9,125 \Longrightarrow \overline{x}= 29,6; \qquad {M_{ed}}= 7$$

En este caso la media no es un posible valor de la variable (discreta), y se ha visto muy afectada por la observación extrema. Este no ha sido el caso para la mediana.

2.3.4.4 Ejemplo

Obtener la media aritmética y la mediana en la distribución adjunta. Determinar gráficamente cuál de los dos promedios es más significativo.

li-1 - li	ni
0 - 10	60
10 - 20	80
20 - 30	30
30 - 100	20
100 - 500	10

Solución:

li-1 - li	ni	ai	xi	xi ni	Ni	$n_i{\mbox{$'$ }}$
0 - 10	60	10	5	300	60	60
10 - 20	80	10	15	1.200	140	80
20 - 30	30	10	25	750	170	30
30 - 100	20	70	65	1.300	190	2,9
100 - 500	10	400	300	3.000	200	0,25
	n=200			$\sum x_i n_i=6.550$

La media aritmética es:

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum x_i = \frac{6.550}{200}=32,75$$

La primera frecuencia absoluta acumulada que supera el valor n/2=100 es N_i=140. Por ello el intervalo mediano es [10;20). Así:

$${M_{ed}}=l_{i-1}+\frac{n/2-N_{i-1}}{n_i}\cdot a_i = 10 +\frac{100-60}{80}\times 10 = 15$$

Para ver la representatividad de ambos promedios, realizamos el histograma de la figura 2.3, y observamos que dada la forma de la distribución, la mediana es más representativa que la media.

  

Figura: Para esta distribución de frecuencias es más representativo usar como estadístico de tendencia central la mediana que la media.