12.4 Aleatoriedad de una muestra: Test de rachas

A veces al realizar un muestreo, puede llegar a influir el orden temporal o espacial en que las muestras han sido elegidas, con lo cual no estamos en las condiciones de un muestreo aleatorio simple, ya que la ley de probabilidad varía de una observación a otra. Como ilustración obsérvese la figura adjunta. También podemos denominar a este contraste como test de independencia de las observaciones de una muestra.

Consideremos una muestra de tamaño n que ha sido dividida en dos categorías $\ominus$ y $\oplus$ con n₁ y n₂ observaciones cada una. Se denomina racha a una sucesión de valores de la misma categoría. Por ejemplo si estudiamos una población de personas podemos considerar como categoría el sexo

$$\begin{eqnarray*}\ominus &\equiv& \mbox{ser hombre} \\ \oplus &\equiv& \mbox{ser mujer} \end{eqnarray*}$$

$$\overbrace{ \underbrace{\oplus\:\oplus\:\oplus}_{3} \: \under... ...ray}{l} n_1=5 \\ n_2 = 4 \\ n=n_1+n_2 = 9 \end{array}\right.$$

En función de las cantidades n₁ y n₂ se espera que el número de rachas no sea ni muy pequeño ni muy grande.

Si las observaciones son cantidades numéricas estas pueden ser divididas en dos categorías que poseen aproximadamente el mismo tamaño ( $n_1=n_2\pm 1$), si consideramos la mediana de las observaciones como el valor que sirve para dividir a la muestra:

$$\begin{eqnarray*}\ominus &\equiv& \mbox{observación inferior a la mediana} \\ \oplus &\equiv& \mbox{observación superior a la mediana} \end{eqnarray*}$$

Se define la v.a. R como el número de rachas. Su distribución está tabulada para los casos $n_1\leq 20$ y $n_2\leq 20$ (tabla 7 de Downie). La aleatoriedad en la extracción de la muestra se rechaza cuando $R\leq R_{n_1,n_2,\alpha/2}$ ó $R\geq R_{n_1,n_2,1-\alpha/r}$.

12.4.0.1 Aproximación normal del test de rachas

Si el tamaño de cualquiera de las dos muestras es mayor que 30, la distribución de R se aproxima a una normal de media

$$\mu_R=\frac{2\,n_1 n_2}{n_1+n_2} + 1$$

y varianza

$$\sigma_R^2=\frac{2\,n_1n_2 (2\,n_1n_2 -n_1-n_2)}{(n_1+n_2)^2 (n_1+n_2-1)}$$

y se considera el estadístico

$$Z_R =\frac{R-\mu_R}{\sigma_R} {\: \stackrel{\approx}{\leadsto}\:}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }.$$

Se rechaza la hipótesis nula (aleatoriedad) si $\left\vert Z_R\right\vert >z_{1-\alpha/2}$.