11.4.8 Método reducido para el análisis de un factor

En este apartado vamos a resumir lo más importante de lo visto hasta ahora, indicando la forma más sencilla de realizar el contraste. En primer lugar calculamos los siguientes estadísticos a partir de la tabla de las observaciones en cada nivel:

$$\begin{eqnarray*}A&=& \sum_{i=1}^t \sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}^2 \\ B&=& \sum_{i=1}... ...scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}^2}{N} \end{eqnarray*}$$

Niveles	Observaciones de X				Cálculos al margen
Nivel 1	x11	x12	$\cdots$	x1n1	n1	$x_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$$\frac{x_{1{{\scriptscriptstyle \bullet}}}^2}{n_1}$$	$$\sum_{j=1}^{n_1} x_{1j}^2$$
Nivel 2	x21	x22	$\cdots$	x2n2	n2	$x_{2{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$$\frac{x_{2{{\scriptscriptstyle \bullet}}}^2}{n_2}$$	$$\sum_{j=1}^{n_2} x_{2j}^2$$
...	...				...	...
Nivel t	xt1	xt2	$\cdots$	xtnt	nt	$x_{t{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$$\frac{x_{t{{\scriptscriptstyle \bullet}}}^2}{n_t}$$	$$\sum_{j=1}^{n_t} x_{tj}^2$$
					N	$x_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	B	A

Entonces las siguientes cantidades admiten una expresión muy sencilla:

$$\begin{eqnarray*}{{\cal SCE}}&=& B-C \qquad \Longrightarrow\qquad {\hat{\cal S}}... ...Longrightarrow\qquad {\hat{\cal S}}_D^2=\frac{{{\cal SCD}}}{N-t} \end{eqnarray*}$$

Calculamos

$$F_{exp}=\frac{{\hat{\cal S}}_{E}^2}{{\hat{\cal S}}_D^2}$$

y dado el nivel de significación $\alpha$ buscamos en una tabla de la distribución ${ {{\bf F} } }$ de Snedecor el valor

$$F_{teo}=F_{t-1,N-t,1-\alpha}$$

rechazando H₀ si F_exp>F_teo, como se aprecia en la Figura 11.2.

  

Figura: Región crítica en un contraste ANOVA.

11.4.8.1 Ejemplo

Se aplican 4 tratamientos distintos a 4 grupos de 5 pacientes, obteniéndose los resultados de la tabla que se adjunta. Queremos saber si se puede concluir que todos los tratamientos tienen el mismo efecto. Para ello vamos a suponer que estamos en condiciones de aplicar el modelo de un factor^11.2.

Tratamientos	Observaciones					ni	$x_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}$	$$\frac{x_{i{{\scriptscriptstyle \bullet}}}^2}{n_i}$$	$$\sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}^2$$
Tratamiento 1	-1	1	2	0	-1	5	1	1/5	7
Tratamiento 2	-2	-4	-5	-4	-7	5	-22	484/5	110
Tratamiento 3	0	-1	-2	-4	-1	5	-8	64/5	22
Tratamiento 4	1	4	6	3	8	5	22	484/5	126
						N=20	$x_{{{\scriptscriptstyle \bullet}}{{\scriptscriptstyle \bullet}}}=7$	$B=\frac{1.033}{5}$	A=265
							$\begin{array}{c} \Downarrow \\ C=\displaystyle \frac{49}{20} \end{array}$

Fuente de	grados de	Suma cuadrados		Cuasivarianzas		Estadístico
variación	libertad
Entre	t-1=3	${{\cal SCE}}$	= B-C	${\hat{\cal S}}_{E}^2$	$= \frac{{{\cal SCE}}}{t-1}$	Fexp	$= \frac{{\hat{\cal S}}_{E}^2}{{\hat{\cal S}}_D^2}$
tratamientos			=204,15		=68,167		=18,676
Dentro de los	N-t=16	${{\cal SCD}}$	= A-B	${\hat{\cal S}}_D^2$	$= \stackrel{\cdot}{\frac{{{\cal SCD}}}{N-t}}$	Fteo	= Ft-1,N-t
tratamientos			=58,4		=3,65		=3,24

  

Figura: Se rechaza la hipótesis de que los tratamientos tienen el mismo efecto en los tres grupos.

En conclusión, F_exp>F_teo, como se observa en la Figura 11.3, por tanto se ha de rechazar la igualdad de efectos de los tratamientos.

En la Figura 11.4 se representan las observaciones de cada nivel de tratamiento mediante una curva normal cuyos parámetros se han estimado puntualmente a partir de las observaciones. Obsérvese que las diferencias más importantes se encuentran entre Los tratamientos 2 y 4. Esto motiva los contrastes de comparaciones múltiples (dos a dos), para que, en el caso en que la igualdad de medias sea rechazada, se pueda establecer qué niveles tuvieron mayor influencia en esta decisión.

  

Figura: Las diferencias más importantes se encuentran entre los niveles 2 y 4.