11.4.2 Especificación del modelo

Con todo lo anterior, el modelo ANOVA de un factor puede escribirse como

$$X_{ij} = \mu + \alpha_i + \epsilon_{ij},\qquad \mbox{donde } \epsilon_{ij}{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,\sigma^2 \right)} }$$

y con la siguiente interpretación:

• $\mu$ es una constante común a todos los niveles;
• $\alpha_i$ es el efecto producido por el i-ésimo nivel. Al sumarlos todos deben compensarse los efectos negativos con los positivos para que la media común a todos los niveles sea realmente $\mu$. Esto implica en particular que los efectos, $\alpha_i$, de los niveles no son independientes;
• $\epsilon_{ij}$ es la parte de la variable X_ij no explicada por $\mu$ ni $\alpha_i$, y que se distribuye del mismo modo (aunque independientemente) para cada observación, según la ley gaussiana:

  
  

  $$\epsilon_{ij}{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,\sigma^2 \right)} }$$
  
  

  Ésta es la condición de homocedasticidad, y es fundamental en el análisis de la varianza.

Obsérvese que ahora podemos escribir el contraste de que los diferentes niveles no tienen influencia sobre la observación de la variable como:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\:\: : \:\: \mu_1=\mu_2=\cdots=\m... ...\: : \:\: \mbox{Al menos dos son distintos} \end{array}\right.$$

o bien

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\:\: : \:\: \alpha_1=\alpha_2=\cd... ..._1\:\: : \:\: \mbox{Algún } \alpha_i\neq 0 \end{array}\right.$$

11.4.2.1 Observación

Se utiliza el nombre de análisis de la varianza ya que el elemento básico del análisis estadístico será precisamente el estudio de la variabilidad. Teóricamente es posible dividir la variabilidad de la variable que se estudia en dos partes:

• La originada por el factor en cuestión;
• La producida por los restantes factores que entran en juego, conocidos o no, controlables o no, que se conocen con el nombre de error experimental.

Si mediante los contrastes estadísticos adecuados la variación producida por cierto factor es significativamente mayor que la producida por el error experimental podemos aceptar la hipótesis de que los distintos niveles del factor actúan de forma distinta.

11.4.2.2 Ejemplo

Consideremos dos muestras tomadas en diferentes niveles de una variable, de forma que ambas tengan la misma varianza muestral (lo que indica que no se puede rechazar la igualdad de varianzas poblacionales) y medias muestrales bastante diferentes. Por ejemplo:

$$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \overbrace{1,2,3}^{\mbo... ...rline{x}=7 \\ {\hat{\cal S}}^2\approx 5,55 \end{array}\right.$$

La dispersión calculada al medir la de los dos niveles conjuntamente es mucho mayor que la de cada uno de ellos por separado. Por tanto puede deducirse que ambos niveles no tienen el mismo valor esperado.