11.2 Introducción

Del mismo modo que el contraste $\chi ^2$ generalizaba el contraste de dos proporciones, es necesario definir un nuevo contraste de hipótesis que sea aplicable en aquellas situaciones en las que el número de medias que queremos comparar sea superior a dos. Es por ello por lo que el análisis de la varianza, ANOVA^11.1 surge como una generalización del contraste para dos medias de la ${ {{\bf t} } }$ de Student, cuando el número de muestras a contrastar es mayor que dos.

Por ejemplo, supongamos que tenemos 3 muestras de diferentes tamaños que suponemos que provienen de tres poblaciones normales con la misma varianza:

$$\begin{eqnarray*}\vec{x}_1\in I\!\!R^{n_1}&\qquad& X_1{\leadsto}{ {{\bf N} \left... ...\qquad& X_3{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu_3,\sigma^2 \right)} } \end{eqnarray*}$$

Si queremos realizar el contraste

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\:\: : \:\: \mu_1=\mu_2=\mu_3 \\ ... ... } \mu_1\neq\mu_3 \mbox{ ó } \mu_2\neq\mu_3 \end{array}\right.$$

podríamos en plantearnos como primer método el fijar una cantidad $\alpha$ próxima a cero y realizar los ${ \left(\begin{array}{c} 3\\ 2 \end{array}\right)\,}=3$contrastes siguientes con $\alpha$ como nivel de significación:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0'\:\: : \:\: \mu_1=\mu_2 \\ \\ ... ...\end{array}\right. \qquad\mbox{ nivel de significación }\alpha$$

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0''\:\: : \:\: \mu_1=\mu_3 \\ \\ ... ...\end{array}\right. \qquad\mbox{ nivel de significación }\alpha$$

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0'''\:\: : \:\: \mu_2=\mu_3 \\ \\... ...\end{array}\right. \qquad\mbox{ nivel de significación }\alpha$$

de modo que se aceptaría H₁ y se rechazaría H₀ sólo si alguna de las hipótesis alternativas H₁', H₁'' ó H₁''' es aceptada y rechazada su correspondiente hipótesis nula. El error de tipo I para este contraste es:

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn {{{\cal P}_{rob}}\left[\mbox{Rechazar }{H_0}_{\mid H_0... ...x{ y } H_0''' \mbox{ son ciertas} }\right] \\ &=&1-(1-\alpha)^3 \end{eqnarray*}$$

Por ello el nivel de significación obtenido para este contraste sobre la igualdad de medias de tres muestras no es $\alpha$ como hubiésemos esperado obtener inicialmente, sino $1-(1-\alpha)^3$. Por ejemplo, si tomamos un nivel de significación $\alpha=0'1$ para cada uno de los contrastes de igualdad de dos medias, se obtendría que el nivel de significación (error de tipo I) para el contraste de las tres medias es de 1-0,9³=0,27, lo que es una cantidad muy alta para lo que acostumbramos a usar.

En consecuencia, no es adecuado realizar el contraste de igualdad de medias de varias muestras mediante una multitud de contrastes de igualdad de medias de dos muestras.

Una técnica que nos permite realizar el contraste de modo conveniente es la que exponemos en este capítulo y que se denomina análisis de la varianza.