10.6.4 Distribuciones con parámetros desconocidos

Supongamos que la distribución de X que queremos contrastar no especifica ciertos valores de r parámetros

$$X{\leadsto}{ {{\bf Fam} \left( \theta_1,\dots,\theta_r \right... ...{\cal P}}[X=k]=p_k(\theta_1,\dots,\theta_r) \end{array}\right.$$

Estimemoslos a partir de la muestra, y consideremos las cantidades

$$p_i=p_i(\hat{\theta}_1,\dots,\hat{\theta}_r)$$

Entonces el contraste consiste en

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \chi_{exp}^2 = \sum_{... ...^2 > \chi_{teo}^2 \mbox{ se rechaza $H_0$ } \end{array}\right.$$

10.6.4.1 Contraste de una distribución binomial

Queremos contrastar

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mbox{$X{\leadsto}{ {{\bf... ... \\ H_1\: : \: \mbox{Lo anterior es falso} \end{array}\right.$$

Las cantidades p_i son desconocidas, aunque tienen una forma en la que sólo dependen del único parámetro que debe ser estimado a partir de la muestra (r=1): Realizando esta estimación

$$\hat{p} = \frac{1}{n\,k}\sum_{i=1}^k i\,{\cal O}_i$$

tenemos todas las cantidades p_i,

$$p_i={ \left(\begin{array}{c} k\\ i \end{array}\right)\,} \hat{p}^i \hat{q}^{k-i}$$

y la distribución del estadístico $\chi ^2$ es aproximadamente ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{k-2}^2$.

10.6.4.2 Contraste de una distribución normal

Si queremos contrastar si una v.a. X se distribuye normalmente

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mbox{$X{\leadsto}{ {{\bf... ...\ H_1\: : \: \mbox{$X$\space no es normal} \end{array}\right.$$

podemos realizar el contraste correspondiente mediante la técnica del estadístico $\chi ^2$tomando una muestra, estimando los parámetros mediante $\overline {x}$ y ${{\cal S}^{2}}$, y agrupando las observaciones (continuas) en un número finito, k, de intervalos. No rechazaremos entonces la normalidad de X si las probabilidades esperadas de los intervalos no son muy diferentes de las obtenidas sobre la muestra, es decir,

Intervalo	${\cal O}_i$	$p_i={{\cal P}}\left[{e_{i-1}\leq X\leq e_i}_{ \mid X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \overline{x},{{\cal S}^{2}} \right)} }}\right]$	${\cal E}_i = n\cdot p_i$	$\frac{({\cal O}_i-{\cal E}_i)^2}{E_i}$
$-\infty$ - e1	${\cal O}_1$	$p_1={{\cal P}}[{ X\leq e_1}]$	${\cal E}_1=n\cdot p_1$	$\frac{({\cal O}_1-{\cal E}_1)^2}{E_1}$
e1 - e2	${\cal O}_2$	$p_2={{\cal P}}[{e_1\leq X\leq e_2}]$	${\cal E}_2=n\cdot p_2$	$\frac{({\cal O}_2-{\cal E}_2)^2}{E_2}$
e2 - e3	${\cal O}_3$	$p_3={{\cal P}}[{e_2\leq X\leq e_3}]$	${\cal E}_3=n\cdot p_3$	$\frac{({\cal O}_3-{\cal E}_3)^2}{E_3}$
...	...	...	...	...
ek-1 - $+\infty$	${\cal O}_k$	$p_k={{\cal P}}[{e_{k-1}\leq X}]$	$E_k=n\cdot p_k$	$\frac{({\cal O}_k-{\cal E}_k)^2}{{\cal E}_k}$
	n	1	n	$\chi_{exp}^2$

Entonces

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \chi_{exp}^2 = \sum_{... ...^2 > \chi_{teo}^2 \mbox{ se rechaza $H_0$ } \end{array}\right.$$

10.6.4.3 Ejemplo

En un grupo de n=70 varones, se ha calculado su peso y se han observado las siguientes cantidades:

Peso	M. clase	Frecuencias
55 - 60	57,5	5
60 - 65	62,5	10
65 - 70	67,5	15
70 - 75	72,5	17
75 - 80	77,5	12
80 - 85	82,5	8
85 - 95	90	3

¿Se ajustan estos datos a una distribución normal?

Solución:

Definimos la v.a. X como el peso de un individuo elegido al azar de la población de varones. El test a realizar se escribe entonces como:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mbox{$X{\leadsto}{ {{\bf... ...\ H_1\: : \: \mbox{$X$\space no es normal} \end{array}\right.$$

En primer lugar, vamos a unir el último intervalo con el primero, para asegurarnos de que cada intervalo contenga por lo menos 5observaciones:

Peso	M. clase	Frecuencias
55 - 60	57,5	5
60 - 65	62,5	10
65 - 70	67,5	15
70 - 75	72,5	17
75 - 80	77,5	12
80 - 95	87,5	11
		n=70

Posteriormente estimamos los parámetros desconocidos, suponiendo que realmente los datos provienen de una distribución normal. Para $\mu$, su estimador puntual máximo verosímil es $\overline {x}$. Para $\sigma ^2$ es ${{\cal S}^{2}}$, pero también es posible utilizar $\hat{\cal S}^2$. Así:

$$\begin{eqnarray*}\hat{\mu} &=& \overline{x}= 72,14 \\ \hat{\sigma}^2 &=& {\hat{\cal S}^{2}}= 76,39 \end{eqnarray*}$$

La diferencia entre el histograma de frecuencias relativas y la función de densidad de la distribución ${ {{\bf N} \left( \hat{\mu},\hat{\sigma}^2 \right)} }$ está representada en la figura 10.4.

  

Figura: Histograma de frecuencias absolutas y función de densidad gaussiana (cambiada de escala) más próxima al mismo, en el sentido de que sus parámetros han sido calculados a partir del histograma.

Posteriormente escribimos la tabla con los valores observados y los valores esperados de suponer cierta H₀:

Peso	${\cal O}_i$	${\cal E}_i$	${\cal O}_I^2/{\cal E}_i$
ai - bi	ni	$n \cdot {{\cal P}}[a_i \leq X \leq b_i]$
$-\infty$ - 60	5	5,761	4,3395
60 - 65	10	8,729	11,456
65 - 70	15	13,874	16,2174
70 - 75	17	15,687	18,4229
75 - 80	12	13,062	11,0243
80 - $+\infty$	11	12,887	9,3893
	n=70	n=70	70,849

donde

$$X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \hat{\mu} = 72,14, \hat{\sigma}^2 = 76,39 \right)} } \;\;\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\;\; {{\cal P}}[\leq a_i \leq X\leq b_i] = {{\cal ... ...c{b_i-72,14}{8,74}]- {{\cal P}}[\frac{a_i-72,14}{8,74} \leq Z]$$

y $Z{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$.

Bajo la hipótesis H₀ se tiene que el estadístico $\chi_{exp}^2 {\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{6-3}^2={ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{3}^2$. Consideramos un nivel de significación $\alpha=0,05$. Como

$$\begin{eqnarray*}\chi_{exp}^2 & = & \sum_{i=1}^6 \frac{{\cal O}_i^2}{{\cal E}_i}... ... 70,849 - 70 = 0,849 \\ \chi_{teo}^2 &=& \chi_{3;0,95}^2 = 7,81 \end{eqnarray*}$$

entonces $\chi_{exp}^2<\chi_{teo}^2$, luego no se puede rechazar a la vista de los datos, el que estos provengan de una población normal.