10.6.2 Distribuciones de parámetros conocidos

Deseamos contrastar si la v.a. X sigue una ley de distribución

$$X{\leadsto}\left\{ \begin{array}{l} 1 \:\rightarrow \: {{\cal... ... \\ k \:\rightarrow \: {{\cal P}}[X=k]=p_k \end{array}\right.$$

donde todos los p_i están fijados (hipótesis H₀). Entonces por lo mencionado anteriormente, el contraste consiste en:

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \chi_{exp}^2 = \sum_{... ...^2 > \chi_{teo}^2 \mbox{ se rechaza $H_0$ } \end{array}\right.$$

En este contraste se comete cierto error de aproximación y por tanto será tanto mejor cuanto mayor sea n.

10.6.2.1 Ejemplo

Dadas dos parejas de genes Aa y Bb, la descendencia del cruce efectuado según las leyes de Mendel, debe estar compuesto del siguiente modo:

Leyes de Mendel     $\longrightarrow$    

	Frecuencias
Fenotipo	relativas
AB	9/16
Ab	3/16
aB	3/16
ab	1/16

Elegidos 300 individuos al azar de cierta población se observa la siguiente distribución de frecuencias:

	Frecuencias
Fenotipo	observadas
AB	165
Ab	47
aB	67
ab	21
Total	300

¿Se puede aceptar que se cumplen las leyes de Mendel sobre los individuos de dicha población?

Solución:

El contraste a realizar es:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mbox{Se cumplen las leye... ...n} \\ p_{ab} \neq 1/16 \end{array}\right. \end{array}\right.$$

Para ello vamos a representar en una sóla tabla las frecuencias observadas, junto con las que serían de esperar en el caso de que H₀ fuese cierta:

Fenotipo	${\cal O}_i$	${\cal E}_i$	${\cal O}_i^2/{\cal E}_i$
AB	165	$300\times9/16=168,75$	161,33
Ab	47	$300\times3/16=52,25$	42,27
aB	67	$300\times3/16=52,25$	85,91
ab	21	$300\times1/16=18,75$	23,52
Total	300	300	313,03

Bajo la hipótesis de que H₀ sea cierta, se tiene que:

$$\chi_{exp}^2=\sum_{i} {\cal O}_i^2/{\cal E}_i - n {\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{4-0-1}^2$$

ya que 4 son los posibles fenotipos, no se ha estimado ningún parámetro (la distribución según las leyes de Mendel es conocida), y sobre las cantidades E_i existe solamente una restricción, que es: $\sum_i {\cal E}_i = 300$.

Por otro lado,

$$\chi_{exp}^2=\sum_{i} {\cal O}_i^2/{\cal E}_i - n = 313,03-300=13,03$$

que según la tabla de la distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }^2$ es aproximadamente el percentil 99,5 de la distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{3}^2$. Por tanto la significatividad del contraste es del $0,5\%<5\%$, lo que nos conduce a rechazar la hipótesis de que la población de la que la muestra ha sido extraída sigue las leyes de Mendel.

Al mismo resultado llegamos sin calcular con precisión la significatividad del contraste, sino considerando que el valor teórico máximo que admitimos para el estadístico experimental con un nivel de significación del 5% es el percentil 95 de ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{3}^2$, es decir,

$$\chi_{teo}^2=\chi_{3;0,95}^2=7,815$$

y claramente ocurre que $\chi_{exp}^2>\chi_{teo}^2$, por lo que se rechaza la hipótesis nula.

Obsérvese también que el que se haya rechazado la hipótesis nula significa que hay diferencia estadísticamente significativa entre las frecuencias observadas y las esperadas, aunque a primera vista no lo hubiésemos percibido en el gráfico de la Figura 10.3.

  

Figura: Aunque aparentan ser aproximadamente iguales las frecuencias observadas y esperadas, existe diferencia estadísticamente significativa entre ellas.