up
next previous
Nodo Raíz: 9. Contrastes de hipótesis
Siguiente: 9.14 Problemas
Previo: 9.10.10 Caso particular: Contraste de homocedasticidad

   
9.12 Contrastes sobre la diferencia de proporciones

Supongamos que tenemos dos muestras independientes tomadas sobre dos poblaciones, en la que estudiamos una variable de tipo dicotómico (Bernoulli):


\begin{eqnarray*}\vec{X}_1 &{\equiv}& X_{11},X_{12},\dots,X_{1n_1}
\\
\vec{X}_2 &{\equiv}& X_{21},X_{22},\dots,X_{2n_2}
\end{eqnarray*}


Si X1 y X2 contabilizan en cada caso el número de éxitos en cada muestra se tiene que cada una de ellas se distribuye como una variable aleatoria binomial:

\begin{eqnarray*}X_1 &=& \sum_{i=1}^{n_1}X_{1i}\:{\leadsto}{ {{\bf B} \left( n_1...
...i=1}^{n_2}X_{2i}\:{\leadsto}{ {{\bf B} \left( n_2,p_2 \right)} }
\end{eqnarray*}


de modo que los estimadores de las proporciones en cada población tienen distribuciones que de un modo aproximado son normales (cuando n1 y n2 son bastante grandes)

\begin{eqnarray*}\hat{P_1}=\frac{X_1}{n_1} {\: \stackrel{\approx}{\leadsto}\:}
{...
...leadsto}\:}
{ {{\bf N} \left( p_2,\frac{p_2 q_2}{n_2} \right)} }
\end{eqnarray*}


El contraste que nos interesa realizar es el de si la diferencia entre las proporciones en cada población es una cantidad conocida $\Delta$


\begin{displaymath}H_0\:\: :\: \: p_1-p_2 = \Delta
\end{displaymath}

Si H0 fuese cierta se tendría que


\begin{displaymath}\hat{P_1}-\hat{P_2}{\: \stackrel{\approx}{\leadsto}\:}{ {{\bf...
..._{\Delta},\frac{p_1 q_1}{n_1}
+ \frac{p_2 q_2}{n_2} \right)} }
\end{displaymath}

Desafortunadamente ni p1 ni p2 son conocidos de antemano y utilizamos sus estimadores, lo que da lugar a un error que es pequeño cuando los tamaños muestrales son importantes:


\begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
\frac{(\hat{p_1}-\hat{p_2})-\De...
...{\approx}{\leadsto}\:}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }
$ } }
}
\end{displaymath}

9.12.0.1 Contraste bilateral

El contraste bilateral sobre la diferencia de proporciones es


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: p_1-p_2=\Delta
\\
\mbox{\it }
\\
H_1\: : \: p_1-p_2\neq \Delta
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Entonces se define


\begin{displaymath}Z_{exp} = \frac{(\hat{p_1}-\hat{p_2})-\Delta}{
\sqrt{\display...
...rac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1}
+\frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}}
\end{displaymath}

y se rechaza la hipótesis nula si $Z_{exp}<-z_{1-\alpha/2}$o si $Z_{exp}>z_{1-\alpha/2}$

9.12.0.2 Contrastes unilaterales

En el contraste


\begin{displaymath}%
\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: p_1-p_2=\Delta
\\
\mbo...
...it }
\\
H_1\: : \: p_1-p_2< \Delta
\end{array}\right.
\right)
\end{displaymath}

se rechazará H0 si $Z_{exp}<-z_{1-\alpha}$. Para el test contrario


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: p_1-p_2=\Delta
\\
\mbox{...
...it }
\\
H_1\: : \: p_1-p_2> \Delta
\end{array}\right.
\right)
\end{displaymath}

se rechaza H0 si $Z_{exp}>z_{1-\alpha}$.



 
next up previous
Nodo Raíz: 9. Contrastes de hipótesis
Siguiente: 9.14 Problemas
Previo: 9.10.10 Caso particular: Contraste de homocedasticidad

Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo