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9.10.10 Caso particular: Contraste de homocedasticidad

En la práctica un contraste de gran interés es el de la homocedasticidad o igualdad de varianzas. Decimos que dos poblaciones son homocedáticas si tienen la misma varianza. El test de homocedasticidad sería entonces el mismo que el de un cociente de varianzas, donde R=1, es decir:

\begin{displaymath}%
\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: \sigma_1^2=\sigma_2^2
\...
...\: : \: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\neq 1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

9.10.10.1 Observación

Una de las razones de la importancia de este contraste es la siguiente: Si queremos estudiar la diferencia entre las medias de dos poblaciones normales, el caso más realista es considerar un contraste donde las varianzas de las poblaciones son desconocidas. Ante esta situación podemos encontrarnos dos situaciones:
1.
Las dos varianzas son iguales. Este es el caso más favorable pues utilizamos la distribución de Student para el contraste con un número de grados de libertad que sólo depende del tamaño de la muestra.
2.
Las varianzas son distintas. En este caso el número de grados de libertad es una v.a. (fórmula de Welch) y por tanto al realizar el contraste se pierde cierta precisión.
En esta situación lo recomendable es


 
Tabla: Estadísticos asociados a dos muestras independientes, procedente de sendas poblaciones normales.
 
X1, X2, ..., $X_{n_x}{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu_x,\sigma_x^2 \right)} }$
$\displaystyle
{\hat{\cal S}^{2}}=\frac{(n_x-1){\hat{\cal S}}_x^2 +(n_y-1){\hat{\cal S}}_y^2}{n_x+n_y-2}
$
Y1, Y2, ..., $Y_{n_y}{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu_y,\sigma_y^2 \right)} }$
 
   
$\displaystyle
\frac{\displaystyle(\overline{X}-\overline{Y}) -(\mu_x-\mu_y)}{
...
...{n_x} +\frac{\sigma_y^2}{n_y}}
}
\,{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }
$ $\displaystyle
\sum_{i=1}^{n_x} \frac{(X_i - \mu_x)^2}{\sigma_x^2}
+\sum_{i=1}^...
...i - \mu_y)^2}{\sigma_y^2}
\,{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n_x+n_y}^2
$
   
   
$\displaystyle
\mbox{Si } \sigma_x=\sigma_y \Rightarrow
\frac{(\overline{X}-\ove...
...}}\sqrt{\frac{1}{n_x}+\frac{1}{n_y}}
}
\,{\leadsto}{ {{\bf t} } }_{n_x+n_y-2}
$ $\displaystyle
\frac{{\hat{\cal S}}_x^2}{{\hat{\cal S}}_y^2}\cdot
\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}
{\leadsto}{ {{\bf F} } }_{n_x-1,n_y-1}
$
   
 
$
\mbox{ Si } \sigma_1\neq\sigma_2 \Rightarrow
\frac{\displaystyle
(\overline{X}...
...ght)^2
+
\frac{1}{n_y+1}\left(\frac{{\hat{\cal S}}_y^2}{n_y}\right)^2
} \: - 2
$
 

9.10.10.2 Observación

Al realizar el contraste bilateral sobre la igualdad de varianzas podemos también economizar parte de trabajo definiendo Fexp como el cociente entre la mayor varianza muestral y la menor


\begin{displaymath}F_{exp}=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{{\hat{\c...
...{\cal S}}_1^2
\end{array}\right.
\Longrightarrow F_{exp}\geq 1
\end{displaymath}

ya que así no es necesario calcular el extremo inferior para la región donde no se rechaza H0, pues Fexp nunca estará próxima a 0. Con esta definición de Fexpel criterio a seguir frente al contraste de significación para un valor $\alpha $ dado es (cf. figura 9.15):


  
Figura: Criterio para el rechazo de la hipótesis nula sobre la homocedasticidad. Aunque en realidad el test a realizar es bilateral, al elegir el estadístico del contraste de modo que el numerador sea mayor que el numerador, podemos concentrar toda la probabilidad del error de tipo I,$\alpha $, en la cola derecha de la distribución.
\includegraphics[angle=-90, width=0.6\textwidth]{f9-15.epsi}


\begin{eqnarray*}F_{teo} &=&
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle F_{n_1-1,n_...
...
& \Longrightarrow &
\mbox{ rechazamos } H_0.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}


9.10.10.3 Ejemplo

Se desea comparar la actividad motora espontánea de un grupo de 25 ratas control y otro de 36 ratas desnutridas. Se midió el número de veces que pasaban delante de una célula fotoeléctrica durante 24 horas. Los datos obtenidos fueron los siguientes:

Ratas de control n1=25 $\overline{x}_1 = 869'8$ ${\cal S}_1 = 106'7$
Ratas desnutridas n2=36 $\overline{x}_2 = 465$ $ {\cal S}_2 = 153'7 $

¿Se observan diferencias significativas entre el grupo control y el grupo desnutrido?

Solución:

En primer lugar, por tratarse de un problema de inferencia estadística, nos serán más útiles las cuasivarianzas que las varianzas. Por ello calculamos:

\begin{eqnarray*}{\hat{\cal S}}_1^2 &=& \frac{n_1}{n_1-1}\, {\cal S}_1^2 = \frac...
...2}{n_2-1}\, {\cal S}_2^2 = \frac{36}{35} \, 153'7^2 =
24.298'653
\end{eqnarray*}


El contraste que debemos realizar está basado en el de la ${ {{\bf t} } }$ de Student para la diferencia de medias de dos poblaciones. Para ello conocemos dos estadísticos posibles, según que las varianzas poblacionales de ambos grupos de ratas puedan ser supuestas iguales (homocedasticidad) o distintas (heterocedasticidad). Para ello realizamos previamente el contraste:


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: \sigma_1^2=\sigma_2^2
\\ ...
...\: : \: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\neq 1
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Suponiendo H0 cierta, tenemos que el estadístico del contraste conveniente es

\begin{displaymath}F_{exp}=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{{\hat{\c...
...{\cal S}}_1^2
\end{array}\right.
\Longrightarrow F_{exp}\geq 1
\end{displaymath}

ya que así no es necesario calcular el extremo inferior para la región donde no se rechaza H0. En este caso:


\begin{eqnarray*}F_{exp}&=& \frac{{\hat{\cal S}}_2^2}{{\hat{\cal S}}_1^2}= 2'048...
...F} } }_{n_2-1,n_1-1}
\\
F_{teo} &=& F_{35,24,0'95} \approx 2'97
\end{eqnarray*}


Como $F_{exp}\leq F_{teo}$, no podemos concluir (al menos al nivel de significación $\alpha=0'05$) que H0 deba ser rechazada (cf. figura 9.16).


  
Figura: No hay evidencia significativa para rechazar la homocedasticidad. El estadístico del contraste ha sido elegido modo que el numerador de Fexp sea mayor que el denominador, es decir, Fexp>1.
\includegraphics[angle=-90, width=0.6\textwidth]{f9-16.epsi}

Por lo tanto no rechazamos la hipótesis de homocedasticidad de ambas poblaciones, y pasamos a contrastar la igualdad de las medias


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: \mu_1-\mu_2 = 0
\\
\mbox{\it }
\\
H_1\: : \: \mu_1-\mu_2 \neq 0
\end{array}\right.
\end{displaymath}

utilizando el estadístico más sencillo (el que no necesita aproximar los grados de libertad mediante la fórmula de Welch). Para ello calculamos en primer lugar la cuasivarianza muestral ponderada:


\begin{displaymath}{\hat{\cal S}^{2}}= \frac{(n_1-1){\hat{\cal S}}_1^2 +(n_2-1){\hat{\cal S}}_2^2
}{n_1+n_2-2} = 19.238'6
\end{displaymath}

y posteriormente


\begin{eqnarray*}T_{exp}&=&\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{{\hat{\cal S}}\c...
...\\
T_{teo}&=& t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2} = t_{59,0'975} \approx 2
\end{eqnarray*}


Como $\left\vert T_{teo}\right\vert \leq T_{exp}$ concluimos que se ha de rechazar la hipótesis de igualdad de las medias, y por tanto aceptamos que las medias son diferentes. Además, como se aprecia en la figura 9.17, la evidencia a favor de la hipótesis alternativa es muy alta, y se puede afirmar que con gran probabilidad la media poblacional de las ratas de control es mayor que la de las ratas desnutridas.


  
Figura: Hay una gran evidencia en contra de la hipótesis de que ambas medias poblacionales coincidan, y a favor de que la de la primera población es mayor que la de la segunda.
\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{f9-17.epsi}


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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo