9.6 Contrastes de una proporción

Supongamos que poseemos una sucesión de observaciones independientes, de modo que cada una de ellas se comporta como una distribución de Bernoulli de parámetro p:

$$\vec{X} \equiv X_1,\dots,X_i,\dots, X_n, \qquad \mbox{donde } X_i{\leadsto}{ {{\bf Ber} \left( p \right)} }$$

La v.a. X, definida como el número de éxitos obtenidos en una muestra de tamaño n es por definición una v.a. de distribución binomial:

$$X= \sum_{i=1}^n X_i \: {\leadsto}{ {{\bf B} \left( n,p \right)} }$$

La proporción muestral (estimador del verdadero parámetro p a partir de la muestra) es

$$\hat{P}= \frac{X}{n}$$

Nos interesamos en el contraste de significación de

$$H_0 \:\: : \:\:p=p_0 , \qquad \mbox{donde $p_0$\space es un valor prefijado}$$

frente a otras hipótesis alternativas. Para ello nos basamos en un estadístico (de contraste) que ya fue considerado anteriormente en la construcción de intervalos de confianza para proporciones y que sigue una distribución aproximadamente normal para tamaños muestrales suficientemente grandes:

$$\hat{P}=\frac{X}{n} {\: \stackrel{\approx}{\leadsto}\:}{ {{\bf N} \left( p,\frac{pq}{n} \right)} }$$

Si la hipótesis H₀ es cierta se tiene

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \hat{P}=\frac{X}{n} {\: \stackr... ...{\approx}{\leadsto}\:}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} } $ } } }$$

9.6.0.1 Contraste bilateral

Para el contraste

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: p=p_0 \\ \mbox{\it } \\ H_1\: : \: p\neq p_0 \end{array}\right.$$

extraemos una muestra y observamos el valor $X=x\Rightarrow \hat{p}=\frac{x}{n}$. Entonces se define

$$\begin{eqnarray*}Z_{exp} &=& \frac{\displaystyle \hat{p} - p_0}{\sqrt{\displaystyle \frac{p_0q_0}{n}}} \\ & & \\ Z_{teo} & = & z_{1-\alpha/2} \end{eqnarray*}$$

siendo el criterio de aceptación o rechazo de la hipótesis nula el que refleja la figura 9.12:

  

Figura: Contraste bilateral de una proporción.

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \mbox{ si } \left\vert Z_{exp}\rig... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

9.6.0.2 Contrastes unilaterales

Consideremos un contraste del tipo

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: p=p_0 \\ \mbox{\it } \\ ... ... \mbox{\it } \\ H_1\: : \: p< p_0 \end{array}\right. \right)$$

La figura 9.13 expresa el criterio de aceptación o rechazo a seguir:

  

Figura: Contraste unilateral cuando $H_0\: : \: p\geq p_0$

$$\left\{ \begin{array}{l} Z_{exp} = \frac{\displaystyle \hat{p... ...ongrightarrow & \mbox{ no rechazamos } H_0. \end{array}\right.$$

Para el test unilateral contrario, se tiene la expresión simétrica (cf. figura 9.14):

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: p=p_0 \\ \mbox{\it } \\ ... ... \mbox{\it } \\ H_1\: : \: p> p_0 \end{array}\right. \right)$$

Luego

$$\left\{ \begin{array}{l} Z_{exp} = \frac{\displaystyle \hat{p... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

  

Figura: Contraste unilateral cuando se tiene $H_0\: : \: p \leq p_0$