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Subsecciones

9.4.4 Contrastes para la varianza

Consideremos que el carácter que estudiamos sobre la población sea una v.a. normal cuya media y varianza son desconocidas. Vamos a contrastar la hipótesis


\begin{displaymath}H_0 \: : \: \sigma^2 = \sigma^2_0, \qquad
\mbox{donde $\sigma_0^2$\space es un valor prefijado}
\end{displaymath}

frente a otras hipótesis alternativas que podrán dar lugar a contrastes bilaterales o unilaterales. La técnica consiste en utilizar el teorema de Cochran, para observar que el siguiente estadístico experimental que utiliza el estimador insesgado de la varianza, posee una distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }^2$, con n-1 grados de libertad:


\begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
H_0 \mbox{ cierta }
\Longrighta...
...ma_0^2}\,{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2
$ } }
}
\end{displaymath}

Entonces construimos las regiones críticas que correspondan a las hipótesis alternativas que se formulen en cada caso atendiendo a la ley de distribución $\chi ^2$.

9.4.4.1 Contraste bilateral

Cuando el contraste a realizar es

\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: \sigma^2=\sigma_0^2
\\
\...
...\it }
\\
H_1\: : \: \sigma^2\neq\sigma_0^2
\end{array}\right.
\end{displaymath}

definimos


\begin{eqnarray*}\chi_{exp}^2 &=& (n-1)\cdot \frac{{\hat{\cal S}^{2}}}{\sigma_0^...
...{n-1,\alpha/2}^2
\\
& &
\\
b_{teo} &=& \chi_{n-1,1-\alpha/2}^2
\end{eqnarray*}


y el criterio que suministra el contraste es el expresado en la figura 9.9:


  
Figura: Contraste bilateral de una varianza.
\includegraphics[angle=-90, width=0.6\textwidth]{f9-9.epsi}


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{ccl}
\mbox{ si } a_{teo} \leq \chi_{exp...
... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

9.4.4.2 Contrastes unilaterales

Para un contraste de significación al nivel $\alpha $ del tipo

\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: \sigma^2=\sigma_0^2
\\
\...
...\
H_1\: : \: \sigma^2 < \sigma_0^2
\end{array}\right.
\right)
\end{displaymath}

se tiene que el resultado del mismo es el que refleja la figura 9.10:


  
Figura: Contraste unilateral del tipo $H_0\: : \: \sigma^2\geq\sigma_0^2$.
\includegraphics[angle=-90, width=0.6\textwidth]{f9-10.epsi}


\begin{displaymath}a_{teo} = \chi_{n-1,\alpha}^2 \longrightarrow
\left\{
\begin{...
... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Para el contraste contrario tenemos la formulación análoga (cf. figura 9.11):


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
H_0\: : \: \sigma^2=\sigma_0^2
\\
\...
...\
H_1\: : \: \sigma^2 > \sigma_0^2
\end{array}\right.
\right)
\end{displaymath}

calculamos el extremo inferior de la región crítica en una tabla de la distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2$

\begin{displaymath}b_{teo} = \chi_{n-1,1-\alpha}^2 \longrightarrow
\left\{
\begi...
... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1.
\end{array}\right.
\end{displaymath}


  
Figura: Contraste unilateral del tipo $H_0\: : \: \sigma^2\leq\sigma_0^2$.
\includegraphics[angle=-90, width=0.6\textwidth]{f9-11.epsi}


 
Tabla: Estadísticos asociados a una muestra aleatoria simple, procedente de una población normal.
 
X1, X2, ..., $X_n{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} }$
 
   
$\displaystyle
\frac{\overline{X}-\mu}{
\displaystyle \sigma\,\frac{1}{\sqrt{n}}
}
\,{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }
$ $\displaystyle
\sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \mu)^2}{\sigma^2}
\,{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_n^2
$
   
   
$\displaystyle
\frac{\overline{X}-\mu}{
\displaystyle {\hat{\cal S}}\, \frac{1}{\sqrt{n}}
}
\,{\leadsto}{ {{\bf t} } }_{n-1}
$ $\displaystyle
\sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}
= (n-1)\frac{{\hat{\cal S}^{2}}}{\sigma^2}\,{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2
$
   


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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo