9.4.4 Contrastes para la varianza

Consideremos que el carácter que estudiamos sobre la población sea una v.a. normal cuya media y varianza son desconocidas. Vamos a contrastar la hipótesis

$$H_0 \: : \: \sigma^2 = \sigma^2_0, \qquad \mbox{donde $\sigma_0^2$\space es un valor prefijado}$$

frente a otras hipótesis alternativas que podrán dar lugar a contrastes bilaterales o unilaterales. La técnica consiste en utilizar el teorema de Cochran, para observar que el siguiente estadístico experimental que utiliza el estimador insesgado de la varianza, posee una distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }^2$, con n-1 grados de libertad:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle H_0 \mbox{ cierta } \Longrighta... ...ma_0^2}\,{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2 $ } } }$$

Entonces construimos las regiones críticas que correspondan a las hipótesis alternativas que se formulen en cada caso atendiendo a la ley de distribución $\chi ^2$.

9.4.4.1 Contraste bilateral

Cuando el contraste a realizar es

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \sigma^2=\sigma_0^2 \\ \... ...\it } \\ H_1\: : \: \sigma^2\neq\sigma_0^2 \end{array}\right.$$

definimos

$$\begin{eqnarray*}\chi_{exp}^2 &=& (n-1)\cdot \frac{{\hat{\cal S}^{2}}}{\sigma_0^... ...{n-1,\alpha/2}^2 \\ & & \\ b_{teo} &=& \chi_{n-1,1-\alpha/2}^2 \end{eqnarray*}$$

y el criterio que suministra el contraste es el expresado en la figura 9.9:

  

Figura: Contraste bilateral de una varianza.

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \mbox{ si } a_{teo} \leq \chi_{exp... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

9.4.4.2 Contrastes unilaterales

Para un contraste de significación al nivel $\alpha$ del tipo

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \sigma^2=\sigma_0^2 \\ \... ...\ H_1\: : \: \sigma^2 < \sigma_0^2 \end{array}\right. \right)$$

se tiene que el resultado del mismo es el que refleja la figura 9.10:

  

Figura: Contraste unilateral del tipo $H_0\: : \: \sigma^2\geq\sigma_0^2$.

$$a_{teo} = \chi_{n-1,\alpha}^2 \longrightarrow \left\{ \begin{... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

Para el contraste contrario tenemos la formulación análoga (cf. figura 9.11):

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \sigma^2=\sigma_0^2 \\ \... ...\ H_1\: : \: \sigma^2 > \sigma_0^2 \end{array}\right. \right)$$

calculamos el extremo inferior de la región crítica en una tabla de la distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2$

$$b_{teo} = \chi_{n-1,1-\alpha}^2 \longrightarrow \left\{ \begi... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

  

Figura: Contraste unilateral del tipo $H_0\: : \: \sigma^2\leq\sigma_0^2$.

 

Tabla: Estadísticos asociados a una muestra aleatoria simple, procedente de una población normal.

X1, X2, ..., $X_n{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} }$
$$\frac{\overline{X}-\mu}{ \displaystyle \sigma\,\frac{1}{\sqrt{n}} } \,{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$$	$$\sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \,{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_n^2$$
$$\frac{\overline{X}-\mu}{ \displaystyle {\hat{\cal S}}\, \frac{1}{\sqrt{n}} } \,{\leadsto}{ {{\bf t} } }_{n-1}$$	$$\sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} = (n-1)\frac{{\hat{\cal S}^{2}}}{\sigma^2}\,{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2$$