9.4.2 Contrastes para la media

9.4.2.1 Test de dos colas con varianza conocida

Suponemos que $X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} }$ donde $\sigma ^2$es conocido y queremos contrastar si es posible que $\mu$ (desconocida) sea en realidad cierto valor $\mu_0$ fijado. Esto es un supuesto teórico que nunca se dará en la realidad ^9.4 pero servirá para introducir la teoría sobre contrastes.

El test se escribe entonces como:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it } \\ H_1\: : \: \mu\neq\mu_0 \end{array}\right.$$

Como hemos mencionado anteriormente, la técnica para hacer el contraste consiste en suponer que H₀ es cierta, y averiguar con esta hipótesis quien es la distribución del estadístico del contraste que este caso es lógico que deba estar muy relacionado con $\overline {X}$. Si al obtener una muestra concreta se tiene que $\overline{X}=\overline{x}$ es un valor muy alejado de $\mu_0$, se debe rechazar H₀. Veamos esto con más detalle:

$$\begin{eqnarray*}H_0 \mbox{ cierta } \Longleftrightarrow X{\leadsto}{ {{\bf N} \... ..._0}{\sigma /\sqrt{n} }{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} } \end{eqnarray*}$$

Para poder acceder a las probabilidades de la normal, hemos tipificado (ya que los valores para hacer la tipificación son conocidos). Si H₀ es cierta, entonces esperamos que el valor z_expobtenido sobre la muestra

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle z_{exp}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ } } }$$

esté cercano a cero con una gran probabilidad. Esto se expresa fijando un nivel de significación $\alpha$, y tomando como región crítica ${\cal C}$, a los valores que son muy extremados y con probabilidad $\alpha$ en total, o sea,

$$\left\{ \begin{array}{rcl} {{\cal P}}[Z_{exp}\leq z_{\alpha/2... ...P}}[-z_{1-\alpha/2} \leq Z_{exp} \leq z_{1-\alpha/2}]=1-\alpha$$

Entonces la región crítica consiste en

$$\begin{eqnarray*}{ {\cal C} }&=& \left\{ z_{exp}, \mbox{ tal que } z_{exp} < -z... ...exp}:\:\left\vert z_{exp}\right\vert\leq z_{1-\alpha/2} \right\} \end{eqnarray*}$$

Luego rechazaremos la hipótesis nula si

$$\left\vert z_{exp}\right\vert> z_{1-\alpha/2}$$

aceptando en consecuencia la hipótesis alternativa (cf. figura 9.1).

  

Figura: La región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. Se rechaza H₀ cuando el estadístico z_exp toma un valor comprendido en la zona sombreada de la gráfica pequeña, ${ {{\bf N} \left ( 0,1 \right )} }$, o equivalentemente, cuando el estadístico $\overline {X}$ toma un valor en la zona sombreada de la gráfica grande, ${ {{\bf N} \left ( \mu _0,\sigma ^2 \right )} }$.

9.4.2.2 Tests de una cola con varianza conocido

Consideremos un contraste de hipótesis donde ahora la hipótesis alternativa es compuesta:  $$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it }... ...ox{\it } \\ H_1\: : \: \mu < \mu_0 \end{array}\right. \right)$$

Bajo la hipótesis nula la distribución de la media muestral es

$$\begin{eqnarray*}H_0 \mbox{ cierta } \Longleftrightarrow X{\leadsto}{ {{\bf N} \... ..._0}{\sigma /\sqrt{n} }{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} } \end{eqnarray*}$$

y como región crítica consideraremos aquella formada por los valores extremadamente bajos de Z_exp, con probabilidad $\alpha$, es decir

$${{\cal P}}[Z_{exp}\leq z_{\alpha}]= \alpha \Longrightarrow {{... ...\left[ \underbrace{z_{\alpha}} \leq z_{exp} \right] = 1-\alpha$$

Entonces la región de aceptación, o de modo más correcto, de no rechazo de la hipótesis nula es (cf. figura 9.2: $$z_{exp} > z_{\alpha}$$

  

Figura: Se rechaza la hipótesis nula, cuando uno de los estadístico Z o $\overline {X}$ toma un valor en la zona sombreada de sus gráficas respectivas.

Es evidente que si en el contraste de significación (9.1), hubiésemos tomado como hipótesis alternativa su contraria, es decir

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it }... ...ox{\it } \\ H_1\: : \: \mu > \mu_0 \end{array}\right. \right)$$

por simetría con respecto al caso anterior, la región donde no se rechaza la hipótesis nula es (véase la figura 9.3 y contrástese con la 9.2):

$$z_{exp} < z_{1-\alpha}$$

  

Figura: Regiones de aceptación y rechazo para el test unilateral contrario.

9.4.2.3 Test de dos colas con varianza desconocida

Sea $X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} }$ donde ni $\mu$ ni $\sigma ^2$son conocidos y queremos realizar el contraste

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it } \\ H_1\: : \: \mu\neq\mu_0 \end{array}\right.$$

Al no conocer $\sigma ^2$ va a ser necesario estimarlo a partir de su estimador insesgado: la cuasivarianza muestral, $\hat{\cal S}^2$, ya definida en la relación 7.8f, página . Por ello la distribución del estimador del contraste será una ${ {{\bf t} } }$de Student, que ha perdido un grado de libertad, según el teorema de Cochran, enunciado en la página y la definición de la distribución de Student en la página :

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle H_0 \mbox{ cierta } \Longleftri... ...hat{\cal S}}}{\sqrt{n}}}{\leadsto}{ {{\bf t} } }_{n-1} $ } } }$$

Consideramos como región crítica ${\cal C}$, a las observaciones de T_exp extremas

$$\left\{ \begin{array}{rcl} {{\cal P}}[T_{exp}\leq t_{n-1,\alp... ...-1,1-\alpha/2} \leq T_{exp} \leq t_{n-1,1-\alpha/2}] =1-\alpha$$

o sea

$${ {\cal C} }= \left\{T_{exp} < -t_{n-1,1-\alpha/2} \:\:\mbox{ ó } \:\: t_{n-1,1-\alpha/2} <T_{exp}\right\}$$

9.4.2.4 Observación

Para dar una forma homogénea a todos los contrastes de hipótesis es costumbre denominar al valor del estadístico del contraste calculado sobre la muestra como valor experimental y a los extremos de la región crítica, como valores teóricos. Definiendo entonces

$$\begin{eqnarray*}T_{exp} &=& \frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{{\hat{\cal S}}}{\sqrt{n}}} \\ & & \\ T_{teo} & = & t_{n-1,1-\alpha/2} \end{eqnarray*}$$

el resultado del contraste es el siguiente (cf. figura 9.4):

  

Figura: Región crítica para el contraste bilateral de una media.

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \mbox{ si } \left\vert T_{exp}\rig... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

9.4.2.5 Tests de una cola con varianza desconocido

Si realizamos el contraste

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it }... ...ox{\it } \\ H_1\: : \: \mu < \mu_0 \end{array}\right. \right)$$

por analogía con el contraste bilateral, definiremos

$$\begin{eqnarray*}T_{exp} &=& \frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{{\hat{\cal S}}}{\sqrt{n}}} \\ & & \\ T_{teo} & = & t_{n-1,1-\alpha} \end{eqnarray*}$$

y el criterio para contrastar al nivel de significación $\alpha$ es (cf. figura 9.5):

  

Figura: Región crítica para uno de los contrastes unilaterales de una media.

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \mbox{ si } T_{exp} \geq -T_{teo} ... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

Para el contraste contrario,

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it }... ...ox{\it } \\ H_1\: : \: \mu > \mu_0 \end{array}\right. \right)$$

definimos T_exp y T_teo como anteriormente y el criterio a aplicar es (véase la figura 9.6):

  

Figura: Región crítica para el contrastes unilateral de una media contrario al anterior.

$$\left\{ \begin{array}{ccl} \mbox{ si } T_{exp} \leq T_{teo} &... ... rechazamos } H_0 \mbox{ y aceptamos } H_1. \end{array}\right.$$

9.4.2.6 Ejemplo

Conocemos que las alturas X de los individuos de una ciudad, se distribuyen de modo gaussiano. Deseamos contrastar con un nivel de significación de $\alpha=0'05$ si la altura media es diferente de 174 cm. Para ello nos basamos en un estudio en el que con una muestra de n=25 personas se obtuvo:

$$\begin{eqnarray*}\overline{x}&=& 170 \mbox{ cm} \\ {\cal S}&=& 10 \mbox{ cm} \end{eqnarray*}$$

Solución:

El contraste que se plantea es:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=174 \mbox{ cm} \\ \m... ...\it } \\ H_1\: : \: \mu\neq 174 \mbox{ cm} \end{array}\right.$$

La técnica a utilizar consiste en suponer que H₀ es cierta y ver si el valor que toma el estadístico

$$T_{exp}=\frac{\overline{x}-174}{\frac{{\hat{\cal S}}}{\sqrt{n}}}\, {\leadsto}{ {{\bf t} } }_{n-1} ={ {{\bf t} } }_{24}$$

es ``razonable" o no bajo esta hipótesis, para el nivel de significación dado. Aceptaremos la hipótesis alternativa (y en consecuencia se rechazará la hipótesis nula) si no lo es, es decir, si

$$\left\vert T_{exp}\right\vert \geq t_{24,1-\alpha/2} =t_{24,0'975} = 2'06$$

Para ello procedemos al cálculo de T_exp:

$${\cal S}=10 \Longrightarrow {\hat{\cal S}}= {\cal S}\,\sqrt{\frac{n}{n-1}} = 10 \,\sqrt{\frac{25}{24}} = 10'206$$

$$\left\vert T_{exp}\right\vert= \frac{\left\vert 170-174\right... ...qrt{25}}}= \left\vert-1'959\right\vert\leq t_{24,0'975} = 2'06$$

Luego, aunque podamos pensar que ciertamente el verdadero valor de $\mu$no es 174, no hay una evidencia suficiente para rechazar esta hipótesis al nivel de confianza del $95\%$(cf. figura 9.7). Es decir, no se rechaza H₀.

  

Figura: El valor de T_exp no está en la región crítica (aunque ha quedado muy cerca), por tanto al no ser la evidencia en contra de H₀ suficientemente significativa, ésta hipótesis no se rechaza.

9.4.2.7 Ejemplo

Consideramos el mismo ejemplo de antes. Visto que no hemos podido rechazar el que la altura media de la población sea igual a 174 cm, deseamos realizar el contraste sobre si la altura media es menor de 174 cm.

Solución:

Ahora el contraste es

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu\geq 174 \mbox{ cm} \\... ...ox{\it } \\ H_1\: : \: \mu< 174 \mbox{ cm} \end{array}\right.$$

Para realizar este contraste, consideramos el caso límite y observamos si la hipótesis nula debe ser rechazada o no. Este es:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0'\: : \: \mu= 174 \mbox{ cm} \\ \mbox{\it } \\ H_1\: : \: \mu< 174 \mbox{ cm} \end{array}\right.$$

De nuevo la técnica a utilizar consiste en suponer que H₀' es cierta y ver si el valor que toma el estadístico

$$T_{exp}=\frac{\overline{x}-174}{\frac{{\hat{\cal S}}}{\sqrt{n}}}\, {\leadsto}{ {{\bf t} } }_{n-1} ={ {{\bf t} } }_{24}$$

es aceptable bajo esta hipótesis, con un nivel de confianza del $95\%$. Se aceptará la hipótesis alternativa (y en consecuencia se rechazará la hipótesis nula) si

$$T_{exp} \leq t_{24,\alpha}= -t_{24,1-\alpha}=-t_{24,0'95} = -1'71$$

Recordamos que el valor de T_exp obtenido fue de

T_exp=-1'959< t_24,0'05= -t_24,0'95 = -1'71

Por ello hemos de aceptar la hipótesis alternativa (véase la figura 9.8).

  

Figura: El valor te T_exp está en la región crítica, por tanto existe una evidencia significativa en contra de H₀, y a favor de H₁.

Es importante observar este hecho curioso: Mientras que en el ejemplo anterior no existía una evidencia significativa para decir que $\mu\neq174$ cm, el ``simple hecho" de plantearnos un contraste que parece el mismo pero en versión unilateral nos conduce a rechazar de modo significativo que $\mu=174$ y aceptamos que $\mu< 174$ cm. Es por ello que podemos decir que no sólo H₀' es rechazada, sino también H₀. Es en este sentido en el que los tests con H₀ y H₀' los consideramos equivalentes:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0'\: : \: \mu= 174 \mbox{ cm} \\ ... ...ox{\it } \\ H_1\: : \: \mu< 174 \mbox{ cm} \end{array}\right.$$