9.2.2 Observaciones

1.

Los errores de tipo I y II no están relacionados más que del siguiente modo: Cuando $\alpha$ decrece $\beta$ crece. Por tanto no es posible encontrar tests que hagan tan pequeños como queramos ambos errores simultáneamente. De este modo es siempre necesario privilegiar a una de las hipótesis, de manera que no será rechazada, a menos que su falsedad se haga muy evidente. En los contrastes, la hipótesis privilegiada es H₀ que sólo será rechazada cuando la evidencia de su falsedad supere el umbral del $100\cdot (1-\alpha)\%$.

2.

Al tomar $\alpha$ muy pequeño tendremos que $\beta$ se puede aproximar a uno. Lo ideal a la hora de definir un test es encontrar un compromiso satisfactorio entre $\alpha$ y $\beta$ (aunque siempre a favor de H₀). Denominamos potencia de un contraste a la cantidad $1-\beta$, es decir

$$\mbox{potencia del contraste }\equiv 1-\beta = {{\cal P}}\left[ \mbox{ rechazar } {H_0}_{\mid H_0 \mbox{ es falsa}} \right]$$

	no rechazar H0	rechazar H0
H0 es cierta	Correcto	Error tipo I
	Probabilidad $1-\alpha$	Probabilidad $\alpha$
H0 es falsa	Error tipo II	Correcto
	Probabilidad $\beta$	Probabilidad $1-\beta$

3.

En el momento de elegir una hipótesis privilegiada podemos en principio dudar entre si elegir una dada o bien su contraria. Criterios a tener en cuenta en estos casos son los siguientes:

• Simplicidad científica: A la hora de elegir entre dos hipótesis científicamente razonables, tomaremos como H₀ aquella que sea más simple.
• Las consecuencias de equivocarnos: Por ejemplo al juzgar el efecto que puede causar cierto tratamiento médico que está en fase de experimentación, en principio se ha de tomar como hipótesis nula aquella cuyas consecuencias por no rechazarla siendo falsa son menos graves, y como hipótesis alternativa aquella en la que el aceptarla siendo falsa trae peores consecuencias. Es decir,

  
  

  $$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mbox{ el paciente empeor... ...box{ el paciente mejora con el tratamiento} \end{array}\right.$$
  
  

  Otro ejemplo claro es cuando acaban de instalar un nuevo ascensor en el edificio que habitamos y queremos saber si el ascensor caerá o no al vacío cuando nosotros estemos dentro. Una persona prudente es la que espera a que un número suficiente de vecinos suyos hayan usado el ascensor (muestra aleatoria) y realiza un test del tipo

  
  

  $$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mbox{ el ascensor se cae... ... H_1\: : \: \mbox{ el ascensor no se caerá} \end{array}\right.$$
  
  

  y sólo aceptará la hipótesis alternativa para $\alpha\approx 0$aunque para ello tenga que ocurrir que $\beta\approx1$, ya que las consecuencias del error de tipo I (ir al hospital) son mucho más graves que las del error del tipo II (subir a pie varios pisos).

  Es decir a la hora de decidirse por una de las dos hipótesis no basta con elegir la más probable (nadie diría ``voy a tomar el ascensor pues la probabilidad de que no se caiga es del $60\%$"). Hay que elegir siempre la hipótesis H₀ a menos que la evidencia a favor de H₁ sea muy significativa.

Volviendo al ejemplo de la estatura de los habitantes de un pueblo, un estadístico de contraste adecuado es $\overline {X}$. Si la hipótesis H₀ fuese cierta se tendría que

$$\overline{X}{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)} }$$

(suponiendo claro está que la distribución de las alturas de los españoles siga una distribución normal de parámetros conocidos, por ejemplo^9.3

$${ {{\bf N} \left( \mu=1'74,\sigma^2=10^2 \right)} }$$

Denotemos mediante $\mu_0$ el verdadero valor de la media en el pueblo que estudiamos. Como la varianza de $\overline {X}$ es pequeña para grandes valores de n, lo lógico es pensar que si el valor obtenido con la muestra $\overline{X}=\overline{x}$ está muy alejado de $\mu=1'74$(región crítica), entonces

• o bien la muestra es muy extraña si H₀ es cierta (probabilidad $\alpha$);
• o bien la hipótesis H₀ no es cierta.

Concretamente en el caso a, donde la muestra es

$$\mbox{Muestra }= \{1,50;1,52;1,48;1,55;1,60;1,49;1,55;1,63\}$$

el contraste de hipótesis conveniente es:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it } \\ H_1\: : \: \mu>\mu_0 \end{array}\right.$$

En este caso H₁ no es estrictamente la negación de H₀. Esto dará lugar a un contraste unilateral, que son aquellos en los que la región crítica está formada por un sólo intervalo:

$$\begin{eqnarray*}% \mbox{Intervalo de no rechazo de $H_0$\space } &\equiv& \lef... ...t) \\ \mbox{Región crítica } &\equiv& \left(-\infty,T_i\right] \end{eqnarray*}$$

En el caso b, donde la muestra es

$$\mbox{Muestra }= \{1,65;1,80;1,73;1,52;1,75;1,65;1,75;1,78\}$$

el contraste de hipótesis que deberíamos realizar es:

$$\left\{ \begin{array}{l} H_0\: : \: \mu=\mu_0 \\ \mbox{\it } \\ H_1\: : \: \mu\neq\mu_0 \end{array}\right.$$

Como vemos, ahora sí se puede decir que H₁ es la negación de H₀. Esto es un contraste bilateral, que son aquellos en los que la región crítica está formada por dos intervalos separados:

$$\begin{eqnarray*}% \mbox{Intervalo donde no se rechaza $H_0$\space } &\equiv& \... ...equiv& \left(-\infty,T_i\right] \cup \left[T_s,+\infty\right) \end{eqnarray*}$$

Los últimos conceptos que introducimos son:

Hipótesis simple:

Aquella en la que se especifica un único valor del parámetro. Este es el caso de las hipótesis nulas en los dos últimos contrastes mencionados.

Hipótesis compuesta:

Aquella en la que se especifica más de un posible valor del parámetro. Por ejemplo tenemos que son compuestas las hipótesis alternativas de esos mismos contrastes.