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8.6.6 Intervalo para la diferencia de dos proporciones

Vamos a considerar que tenemos dos poblaciones de modo que en cada una de ellas estudiamos una v.a. dicotómica (Bernoulli) de parámetros respectivos p1 y p2. De cada población vamos a extraer muestras de tamaño n1 y n2


\begin{eqnarray*}\vec{X}_1 &{\equiv}& X_{11},X_{12},\dots,X_{1n_1}
\\
\vec{X}_2 &{\equiv}& X_{21},X_{22},\dots,X_{2n_2}
\end{eqnarray*}


Entonces


\begin{eqnarray*}X_1 &=& \sum_{i=1}^{n_1}X_{1i}\:{\leadsto}{ {{\bf B} \left( n_1...
...i=1}^{n_2}X_{2i}\:{\leadsto}{ {{\bf B} \left( n_2,p_2 \right)} }
\end{eqnarray*}


Si las muestras son suficientemente grandes ocurre que


\begin{displaymath}\hat{p_1}-\hat{p_2}=\frac{X_1}{n_1}-\frac{X_2}{n_2}
{\: \sta...
...left( p_1-p_2,\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2} \right)} }
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Longrightarrow \qquad
\frac{(\hat{p_1}-\hat{p_2}) - (p_1-p...
...{n_2}}}
\approx Z \:{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }
\end{displaymath}

Esta última relación se puede aproximar por otra que simplifica bastante los cálculos:


\begin{displaymath}\frac{(\hat{p_1}-\hat{p_2}) - (p_1-p_2)}{
\sqrt{\displaystyle...
...{n_2}}}
\approx Z \:{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }
\end{displaymath}

Por el mismo razonamiento que en el caso de una población llegamos a que una aproximación para un intervalo de confianza al nivel $1-\alpha $para la diferencia de proporciones de dos poblaciones es:

$
p_1-p_2 \in
(\hat{p_1} - \hat{p_2}) \pm z_{1-\alpha/2}\cdot
\sqrt{\displaystyle
\frac{\hat{p_1}\hat{q_1}}{n_1}+\frac{\hat{p_2}\hat{q_2}}{n_2}}
$


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Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo