8.6.6 Intervalo para la diferencia de dos proporciones

Vamos a considerar que tenemos dos poblaciones de modo que en cada una de ellas estudiamos una v.a. dicotómica (Bernoulli) de parámetros respectivos p₁ y p₂. De cada población vamos a extraer muestras de tamaño n₁ y n₂

$$\begin{eqnarray*}\vec{X}_1 &{\equiv}& X_{11},X_{12},\dots,X_{1n_1} \\ \vec{X}_2 &{\equiv}& X_{21},X_{22},\dots,X_{2n_2} \end{eqnarray*}$$

Entonces

$$\begin{eqnarray*}X_1 &=& \sum_{i=1}^{n_1}X_{1i}\:{\leadsto}{ {{\bf B} \left( n_1... ...i=1}^{n_2}X_{2i}\:{\leadsto}{ {{\bf B} \left( n_2,p_2 \right)} } \end{eqnarray*}$$

Si las muestras son suficientemente grandes ocurre que

$$\hat{p_1}-\hat{p_2}=\frac{X_1}{n_1}-\frac{X_2}{n_2} {\: \sta... ...left( p_1-p_2,\frac{p_1q_1}{n_1}+\frac{p_2q_2}{n_2} \right)} }$$

$$\Longrightarrow \qquad \frac{(\hat{p_1}-\hat{p_2}) - (p_1-p... ...{n_2}}} \approx Z \:{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$$

Esta última relación se puede aproximar por otra que simplifica bastante los cálculos:

$$\frac{(\hat{p_1}-\hat{p_2}) - (p_1-p_2)}{ \sqrt{\displaystyle... ...{n_2}}} \approx Z \:{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$$

Por el mismo razonamiento que en el caso de una población llegamos a que una aproximación para un intervalo de confianza al nivel $1-\alpha$para la diferencia de proporciones de dos poblaciones es:

$p_1-p_2 \in (\hat{p_1} - \hat{p_2}) \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\displaystyle \frac{\hat{p_1}\hat{q_1}}{n_1}+\frac{\hat{p_2}\hat{q_2}}{n_2}}$