8.6.4 Elección del tamaño muestral para una proporción

En un ejemplo previo con una muestra de 100 individuos se realizó una estimación confidencial, con un 95% de confianza, del porcentaje de votantes a una cuestión en un referéndum, obteniéndose un margen de error de 9,3 puntos.

Si pretendemos reducir el error a 1 punto y queremos aumentar el nivel de confianza hasta el 97% ( $\alpha = 0'03$) hemos de tomar una muestra lógicamente de mayor tamaño, N. La técnica para aproximar dicha cantidad consiste en observar que el error cometido en una estimación es de la forma:

$$\mbox{error } =z_{1-\alpha/2}\, \sqrt{\displaystyle \frac{\hat{p}\hat{q}}{N}}$$

donde $\hat{p}$ es una estimación puntual de p.

Por tanto un valor de N que satisfaga nuestros requerimientos con respecto al error sería:

$$\mbox{\fbox{$ \displaystyle N\geq \hat{p}\hat{q} \frac{z_{1-\alpha/2}^2}{\mbox{error}^2} $ } }$$

Si en un principio no tenemos una idea sobre que valores puede tomar p, debemos considerar el peor caso posible, que es en el que se ha de estimar el tamaño muestral cuando p=q=1/2. Así:

$$\mbox{\fbox{$ \displaystyle N\geq \frac{1}{4}\, \frac{z_{1-\alpha/2}^2}{error^2} $ } cuando no se tiene estimación de $p$ }$$

8.6.4.1 Ejemplo

Continuemos el último ejemplo. Se quiere estimar el resultado de un referéndum mediante un sondeo, y sin tener una idea sobre el posible resultado del mismo, se desea conocer el tamaño de muestra que se ha de tomar para obtener un intervalo al 97% de confianza, con un error del 1

Solución:

Como no se tiene una idea previa del posible resultado del referéndum, hay que tomar un tamaño de muestra, N, que se calcula mediante:

$$N\geq \frac{1}{4} \,\frac{z_{0,985}^2}{0,01^2} = \frac{0,25\cdot 2,17^2}{0,01^2} =11.773$$

Así para tener un resultado tan fiable, el número de personas a entrevistar debe ser muy elevado --lo que puede volver excesivamente costoso el sondeo.