8.4.4 Intervalo para la media (caso general)

Como hemos mencionado, los casos anteriores se presentarán poco en la práctica, ya que lo usual es que sobre una población quizás podamos conocer si se distribuye normalmente, pero el valor exacto de los parámetros $\mu$ y $\sigma ^2$ no son conocidos. De ahí nuestro interés en buscar intervalos de confianza para ellos.

El problema que tenemos en este caso es más complicado que el anterior, pues no es tan sencillo eliminar los dos parámetros a la vez. Para ello nos vamos a ayudar de lo siguiente:

$$Z= \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{ \displaystyle \sigma}{\disp... ...e \sqrt{n}}} \: {\leadsto}\: { {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$$

Por el teorema de Cochran sabemos por otro lado que:

$$\chi_{n-1}^2=\sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} \: {\leadsto}\: { \mbox{\boldmath$\chi$ } }_{n-1}^2$$

y que además estas dos últimas distribuciones son independientes. A partir de estas relaciones podemos construir una distribución ${ {{\bf t} } }$ de Student con n-1 grados de libertad (cf. figura 8.3):

  

Figura: La distribución ${ {{\bf t} } }_{n}$ es algo diferente a ${ {{\bf N} \left ( 0,1 \right )} }$ cuando n es pequeño, pero conforme éste aumenta, ambas distribuciones se aproximan.

$$\begin{eqnarray*}T_{n-1}&=& \frac{Z}{\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n-1} \chi_{n-1... ...}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2} } } \end{eqnarray*}$$

Simplificando la expresión anterior tenemos:

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle T_{n-1}= \frac{ \overline{X}-... ... S}}/ \sqrt{n} } \: {\leadsto}\:{ {{\bf t} } }_{n-1} $ } } }$$

Dado el nivel de significación $1-\alpha$buscamos en una tabla de ${ {{\bf t} } }_{n-1}$ el percentil $100\cdot(1-\alpha/2)$, $t_{n-1, 1-\alpha/2}$, el cual deja por encima de si la cantidad $\alpha/2$ de la masa de probabilidad (figura 8.4). Por simetría de la distribución de Student se tiene que $t_{n-1, \alpha/2}=-t_{n-1,1- \alpha/2}$, luego

  

Figura: La distribución de Student tiene las mismas propiedades de simetría que la normal tipificada.

$$\left\{ \begin{array}{l} {{\cal P}}[T_{n-1}>t_{n-1, 1-\alpha/... ...eft\vert T_{n-1} \right\vert \leq t_{n-1,1-\alpha/2}]=1-\alpha$$

El intervalo de confianza se obtiene a partir del siguiente cálculo:

$$\begin{eqnarray*}\left\vert T_{n-1} \right\vert\leq t_{n-1,1-\alpha/2} &\Righta... ...ight\vert \leq t_{n-1,1-\alpha/2}\cdot {{\hat{\cal S}}/\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$$

Es decir, el intervalo de confianza al nivel $1-\alpha$para la esperanza de una distribución gaussiana cuando sus parámetros son desconocidos es:

$\mu = \overline{X}\pm t_{n-1, 1-\alpha/2}\cdot \frac{{\hat{\cal S}}}{\sqrt{n}}$

  

Figura: Intervalo de confianza para $\mu$ cuando $\sigma ^2$ es desconocido (caso general).

Al igual que en el caso del cálculo del intervalo de confianza para $\mu$ cuando $\sigma ^2$ es conocido, podemos en el caso $\sigma ^2$ desconocido, utilizar la función de verosimilitud (figura8.5) para representarlo geométricamente. En este caso se usa la notación:

$$\begin{eqnarray*}x_{\alpha/2}&=& \overline{x}- t_{n-1,1-\alpha/2}\cdot \frac{\di... ...dot \frac{\displaystyle {\hat{\cal S}}}{ \displaystyle \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$$

8.4.4.1 Ejemplo

 Se quiere estimar un intervalo de confianza al nivel de significación $\alpha=0,05$para la altura media $\mu$ de los individuos de una ciudad. En principio sólo sabemos que la distribución de las alturas es una v.a. X de distribución normal. Para ello se toma una muestra de n=25 personas y se obtiene

$$\begin{eqnarray*}\overline{x}&=& 170 \mbox{ cm} \\ {\cal S}&=& 10 \mbox{ cm} \end{eqnarray*}$$

Solución:

En primer lugar, en estadística inferencial, los estadísticos para medir la dispersión más convenientes son los insesgados. Por ello vamos a dejar de lado la desviación típica muestral, para utilizar la cuasidesviación típica:

$${\cal S}=10 \Longrightarrow {\hat{\cal S}}= {\cal S}\,\sqrt{\frac{n}{n-1}} = 10 \,\sqrt{\frac{25}{24}} = 10'206$$

Si queremos estimar un intervalo de confianza para $\mu$, es conveniente utilizar el estadístico

$$T=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{{\hat{\cal S}}}{\sqrt{n}}}\,{\leadsto}{ {{\bf t} } }_{n-1}$$

y tomar como intervalo de confianza aquella región en la que

$$\left\vert T \right\vert \leq t_{n-1;1-\alpha/2}$$

es decir,

$$\left\vert \frac{170-\mu}{\frac{10,206}{\sqrt{25}}} \right\... ...rrow \mu = 170 \pm 2,06\cdot \frac{10,206}{5} = 170 \pm 4,204$$

o dicho de forma más precisa: Con un nivel de confianza del $95\%$podemos decir que la media poblacional está en el intervalo siguiente (véase la Figura):

$$\mu \in [165,796\,;\,174,204]$$

  

Figura: Cálculo del intervalo de confianza para la media usando para ello la distribución de Student y la función de verosimilitud asociada, la cual está tiene su máximo en $\overline {x}$, ya que esta estimación puntual de $\mu$ es la máximo verosímil.